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martes, 8 de febrero de 2011

Cálculo de Integral por Sustitución Trigonométrica

En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers:

http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110208165454AAUgQrr

Demostrar que $$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\ln{|x+\sqrt{x^2-1}|}+C$$
Realizando la sustitución trigonométrica en la integral
$$x=\sec\theta(*)\Longrightarrow dx=\sec\theta\cdot\tan\theta\;d\theta$$, y considerando el dominio $$0\leq\theta<\pi/2 \wedge\pi\leq\theta<3\pi/2$$.
Donde $$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sqrt{\tan^2\theta}=\tan\theta$$, ya que $$|\tan\theta|=\tan\theta$$, (debido al dominio) por lo que tenemos la integral equivalente
$$\int\frac{\sec\theta\cdot\tan\theta}{\tan\theta}\;d\theta=\int\sec\theta\;d\theta= \ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$$, que es una integral directa.

Y finalmente, volviendo a la variable original, tenemos por $$(*)\;\;y\;\;\tan\theta=\sqrt{x^2-1}$$, según el triángulo rectángulo en el siguiente link:
http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP732819e7e06ce9ifac0400003b707g4700hh40ag?MSPStoreType=image/gif&s=38&w=200&h=200

Por lo tanto

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\ln{|x+\sqrt{x^2-1}|}+C$$, como se quería.

sábado, 5 de febrero de 2011

Demostración sencilla


En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers: http://goo.gl/SnH3y

Demostrar que $(a^{-1})^{-1}=a$, sabiendo que $a^{-1}=\frac1a\,\,\,(*)$

Tomando (*), y elevando ambos lados a la $-1$, se tiene que :
$$(a^{-1})^{-1}=\left(\frac1a\right) ^{-1}$$
$(a^{-1})^{-1}=\frac{1^{-1}}{a^{-1}}$ ya que $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ $$(a^{-1})^{-1}=\frac{1}{\frac1a}$$ Además, como $$\frac{1}{\frac1a}=1\div\frac1a=1\cdot a$$
$(a^{-1})^{-1}=\frac{a}{1}=a$, como se quería.

miércoles, 19 de enero de 2011

¿Qué son las matemáticas? (Parte III. Final)



“Cultivad asiduamente la ciencia de los números, porque nuestros crímenes no son más que errores de cálculo”. Pitágoras


La evidencia de la historia confirma que en ciertas ocasiones los hechos sociales y políticos influenciaron en gran medida la invención y la propagación del conocimiento matemático. Como ejemplo podemos mencionar la reclusión voluntaria a la que se sometió Descartes mientras participaba de las revoluciones de su tiempo y que lo llevó a crear la filosofía moderna y la novedosa relación entre las curvas geométricas y las cantidades algebraicas que ahora conocemos como Geometría Analítica. También, puede decirse que el mismo Newton se valió involuntariamente de su poder de eminencia en la cátedra de la Universidad de Cambridge y de sus lazos políticos como presidente de la Royal Society en 1703, caballero de la Reino en 1705, como miembro del Parlamento y gobernador de la Casa de la Moneda Británica, para que sus monumentales propuestas científicas y matemáticas se propagaran con mayor credibilidad y aceptación.

Por otro lado, la matemática ha sido el punto de discordia entre dos bandos por ejemplo cuando los pitagóricos enfrentaron su crisis del pensamiento por causa de las ideas de los sofistas eleáticos y sus paradojas contra el infinito. Hecho que fue la primera gran disputa intelectual en el mundo matemático de la Grecia antigua. Años más tarde los conflictos políticos privaron a la historia de mentes insustituibles como es el caso de Arquímedes, que fue muerto por un soldado romano en condiciones por demás injustas. Ya en la modernidad, tomó lugar la increíble historia del precoz Galois, quien profundamente deprimido por las presiones políticas a las que fue sometido su padre hasta el punto del suicidio, además de la frustración de que por absurda burocracia no pudiera ingresar a la Escuela Politécnica luego de múltiples ocasiones. Galois se ve inmiscuido en una revolución contra el rey Luis Felipe en 1831 y luego en un complot para ser asesinado luego de estar recluido en la cárcel por su participación subversiva. Sin embargo toda esta opresión política que vivió este joven e 21 años no terminó por hacerlo desfallecer en sus intentos por brindar in invaluable aporte a la matemática moderna, pese a que lamentablemente no fue comprendido en su tiempo.

También la matemática ha contribuido a la guerra en algunas ocasiones, pues por ejemplo, la invención de las catapultas arquimedianas ayudó al poderío creciente del imperio romano en sus batallas. Ya en el renacimiento, la trigonometría y la geometría contribuyeron al cálculo de trayectorias y curvas de los proyectiles, y en el siglo XX, el uso de la geometría elíptica de Riemann por Einstein en su teoría de la relatividad, desviaron el curso de la carrera armamentista de los países con más poder hacia las armas nucleares. La Teoría de Números fue utilizada en la encriptación de mensajes cifrados en la Primera Guerra Mundial por los soviéticos y alemanes, luego, más tarde aparecerían los satélites y el GPS con la ayuda de la trigonometría. Por otra parte, los aportes de los matemáticos John Von Newmann y John Nash a la estrategia militar, a las relaciones diplomáticos y a las conflictos mercantiles, mediante la Teoría de Juegos.

Así, aunque la matemática no es política, ha estado ligada a ésta durante la historia en incontables sucesos relevantes, donde ha dado sus aportes a la guerra sin proponérselo, y podría ser considerada, aunque no tenga relación directa ni afinidad idealista con la obtención del poder de los hombres, como socialista en esencia, pues no hace distinción de clases sociales, sin embargo capitalista en el sentido que impulsa la evolución de la tecnología y el poder económico cuando se le ha encontrado alguna aplicación. Lo que sí se puede decir con certeza, es que la matemática es la gran revolucionaria de la humanidad.



LA MATEMÁTICA
NO ES DEPORTE



Quien sólo haya hecho ejercicios de matemáticas sin haber resuelto ningún problema, es igual a quien sabe mover las piezas del ajedrez sin haber jugado nunca un verdadero juego; lo real en matemáticas es participar en el juego”. Stephen J. Turner


Pese a que indiscutiblemente, la actividad matemática requiere altas dosis de disciplina, preparación, esfuerzo, práctica y perseverancia, lo que se resume en la frase: “El éxito es 99% transpiración y 1% inspiración”, el quehacer matemático es en esencia acción mental. Si bien es cierto existen certámenes y olimpiadas matemáticas, rompecabezas, juegos de azar, juegos de estrategia, problemas interesantes y hasta una teoría de juegos basada en la probabilidad matemática; estos ejemplos de competitividad constituyen sólo una muestra del afán lúdico de la naturaleza del hombre de ejercicio y constancia deportiva. Considerando la mente humana como un músculo, la matemática sería el ejercicio por excelencia y el deporte máximo para su desarrollo, pues el estudio paulatino de esta disciplina ejercita las áreas del cerebro que ninguna otra lo haría, por cuanto es el cuerpo de conocimiento esencial y único que necesariamente constituiría el centro de toda actividad mental como el conjunto de competencias básicas que todo ser humano maduro intelectualmente o no, debería tener en su carrera de vida. La matemática forma parte indisoluble en el perfeccionamiento del intelecto humano al ser la única disciplina que provino de la mente y vive en la mente del hombre, haciéndole diametralmente distinto de cualquier otro ser vivo, por cuanto lo hace razonar (cogito ergo sum). Clasifiquemos entonces los aportes del estudio de la matemática como materia indispensable en el desarrollo normal de un individuo:

  • Fin Práctico. Las matemáticas contribuyen al desenvolvimiento intelectual práctico en todas las áreas de la vida. Es muy probable que alguien que no conozca los elementos y nociones básicos de la matemática, no pueda desempeñarse óptimamente en áreas que la requieran de forma práctica. Ejemplo de ello es el comercio, la preparación de un presupuesto familiar, la aplicación de la regla de tres, el cálculo de porcentajes, la medición, el ahorro de dinero, las transacciones bancarias, entre otras actividades cotidianas. Todos los conocimientos adquiridos en la educación formal elemental (primaria y secundaria) son útiles para la vida cada día y muchos de ellos se aplican rutinariamente incluso sin darnos cuenta.

  • Fin Instrumental. La preparación académica en los ciclos III y IV del sistema educativo, es la antesala de la formación profesional en una universidad para la mayoría de las carreras que se imparten en la actualidad. Todo este cuerpo de conocimientos específicos constituyen los cimientos indispensables para la formación profesional, por lo que sin esta experiencia, sería casi imposible desempeñarse de la mejor manera en alguna profesión, por más alejada que esté de los números, las variables y las medidas. Más aún, las carreras que son eminentemente matemáticas en sus currículos como: las ingenierías, las carreras de administración, las ciencias exactas, las de educación, las del área de finanzas y comercio, las tecnológicas y las del área de informática; no podrían vivir sin el estudio formal de una o varias disciplinas matemáticas.

  • Fin Formativo. Este fin es quizá el más importante de los anteriores pero el menos conocido y comprendido por la mayoría, pues se refiere al área cognoscitiva de un individuo, por ende intangible para determinar concretamente en sus alcances. Trata del conjunto de habilidades, competencias y aptitudes que el estudiante de matemáticas obtiene sin percatarse, generadas por el ejercicio constante y el desarrollo paulatino de las destrezas y capacidades matemáticas, como lo son: capacidad de abstracción, orden y aseo, discernimiento en la resolución de problemas de la vida hallando la solución más lógicamente o probabilísticamente acertada al eliminar o descartar las menos adecuadas, rigor científico, orientación espacial, ordenamiento y clasificación de ideas y pensamientos, capacidad de asociación, cromática, localidad, estimación de peso y resistencia, temporalidad, sonido, lenguaje, comparación, causalidad, memoria, capacidad de análisis y síntesis, deducción e inducción, selección, capacidad de desenvolvimiento en las artes (música, pintura, escultura, dibujo, literatura); entre muchas otras aplicaciones directas e indirectas que el estudiante de matemáticas adquiere a medida que le sean familiares los conceptos y objetos matemáticos, sus aplicaciones y su lenguaje.


El estudio de la matemática no es para cualquiera, aunque no haya necesariamente que poseer virtudes intelectuales envidiables o ser dotado de una mente prodigiosa para poder asimilarla, pues si se tiene disciplina, agallas, deseos de superación y sobre todo, una actitud positiva, de acercamiento y gusto por ella; sin duda forjará una relación sana y provechosa para su espíritu y cuerpo, como lo haría cualquier deporte.



LA MATEMÁTICA
NO ES UN ARTE


“Dondequiera que haya un número está la belleza” Proclo


Aunque muchos consideran a la matemática como todo un arte por la belleza de sus proposiciones, relaciones, aplicaciones y resultados; además de la singularidad de su carácter abstracto, estético y casi perfecto, no es posible encasillarla en esa categoría. Muchas aplicaciones ha encontrado la matemática en sus múltiples caras. Ya lo evidenciaba Pitágoras con su contribución maravillosamente práctica que figura en la ejecución de cualquier instrumento musical solo o en el conjunto de una orquesta. Se trata del fundamento matemático que se esconde detrás de la escala musical en su relación con los números racionales a la armonía. Sin duda un descubrimiento trascendental y por demás interesante de la matemática en sus aplicaciones insospechadas en medio de la naturaleza de las cosas humanas; quizá sólo comparable a lo que siglos más tarde de apoderaría de la arquitectura y de las artes plásticas, cuando Leonardo Da Vinci, dentro de su extraordinaria inventiva e imaginación (así como los artistas Seurat y Morian), relacionó la geometría con su arte, haciendo uso de la llamada proporción áurea en sus obras maestras como la Mona Lisa, y recapitulando lo que ya los egipcios y griegos habían descubierto y aplicado en sus monumentales obras arquitectónicas, como las pirámides de Gizeh y El Partenón, respectivamente. Luego en la actualidad, trasladando esta divina proporción a la escala métrica relativa a la anatomía humana, Le Corbusier decantaría en su obra El Modulor, algo que ya Da Vinci en su Hombre de Vitrubio comprobaría y aplicaría en su tiempo, como un amate obsesionado con la búsqueda de pautas que relacionaran no sólo la anatomía humana y la arquitectura, sino con la estructura armónica propia de la naturaleza. Y es que uno de los grandes misterios de la belleza de la matemática se encuentra en un número irracional y enigmático, al parecer llamado por él como el número de oro, que viene dado por \Phi=\frac{1+\sqrt5}{2} (letra griega Phi, al parecer en honor a Fibonacci). Este número se encuentra inverosímilmente en la naturaleza, desde una concha de nautilus, en el crecimiento y distribución de las hojas en un tallo, en la anatomía de los insectos, en la reproducción de los conejos, hasta en la molécula de ADN. En la actualidad se utiliza el rectángulo dorado en el diseño industrial, como es el caso de las dimensiones de las tarjetas de crédito, las postales, las fotografías y de algunos libros, pues se dice que ese rectángulo es la figura más satisfactoria estéticamente al ojo humano. Las figuras geométricas poseen también una maravillosa estética, sincronía y simetría, como en los sólidos platónicos, los pentágonos y los hexágonos, además por supuesto, del círculo, catalogada por Platón como la figura geométrica perfecta.

Asimismo, ya en nuestro tiempo y con la ayuda de la computación, se crean imágenes multicolores de increíbles similitudes con objetos y paisajes, en la llamada geometría fractal de Mandelbrot y Julia. El matemático y artista M.C. Escher también imprimió a sus grabados imposibles y absurdos un carácter matemático. El filósofo Roger Penrose creó un mosaico que se creía imposible, compuesto por baldosas de cinco lados, también en proporción áurea. Pero tal vez una de las más maravillosas creaciones de la abstracción matemática dentro de sí misma lo constituye una fórmula que encierra armonía, belleza y misterio, y es la famosa identidad de Euler dada por e^{\pi i}+1=0, que relaciona los cinco números más importantes de la matemática con tres operaciones fundamentales y la igualdad, en una elación casi imposible, con números aparecidos en diferentes épocas de la historia y en teorías independientes unas de otras, lo que resumiría un anónimo con la siguiente interrogante: “¿Qué puede ser más místico que un número imaginario interaccione con números reales para producir nada?”.

Incluso la matemática ha dado origen a obras literarias como en Lewis Carroll (seudónimo del matemático Charles Lutwidge Dogson, quien hizo importantes aportes a la lógica moderna) en su Alicia en el país de las MaravillasFibonacci con sus recreativas soluciones a problemas matemáticos a modo de cuentos, así como en su tiempo Omar Khayyam, matemático árabe de quien se conocen algunos versos. Ya en la actualidad, se han publicado diversas obras literarias narrativas que con ingenio y excelencia literaria acercan al lector común al mundo de las matemáticas, como lo son: El hombre que calculaba de Malba Tajan, El diablo de los números, El hombre anumérico, El tío Petros y la Conjetura de Goldbach, entre otros textos. Asimismo el sétimo arte ha puesto en la pantalla múltiples obras cinematográficas que contienen en su trama a la matemática, como Pi: faith in chaos, A beautiful mind, Stand and Deliver, Good Will Hunting, Proof, The Cube, entre muchas otras. Así muchos se han maravillado de esta conexión inverosímil con la matemática y el arte, y más allá, en la naturaleza, como si el Arquitecto del universo que en Su sabiduría, utilizó geometría en su diseño, como lo resume Kepler“La geometría existía antes de la creación. Es coeterna con la mente de Dios… la geometría ofreció a Dios un modelo para la creación… la geometría es Dios mismo”.

En conclusión, evidenciando todos estos aspectos de la realidad humana y al cotejarlos con la matemática, podría haber fracasado en la búsqueda original de aquella, sin embargo, aunque la matemática no es ciencia, filosofía, religión, política, deporte o arte; tiene un poco de todos ellos, pues se derrama en todos estos campos del saber humano, siendo parte de la materia prima de ellos; al mismo tiempo que la matemática tiene características de cada uno, pero a su manera, es decir, no es ciencia pero se comporta como una; no es filosofía pero posee su rigor y altivez; no es religión pero alimenta el espíritu humano; no es política pero une a las naciones en torno a su poder, sus leyes y su lenguaje; no es deporte pero desarrolla disciplina y fortalece el músculo humano por excelencia; y no es arte pero proviene del ingenio del hombre y posee una sorprendente belleza.

"(La matemática)… es la ciencia de la que nunca sabemos a qué nos referimos ni si lo que decimos es cierto”. Bertrand Russell