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lunes, 28 de diciembre de 2015

Cifras iniciales en los Factoriales

Supongamos que usted calcula factoriales de un muchos números y apunta el primer dígito de cada resultado. Se podría argumentar que no hay ninguna razón evidente para que cualquier dígito sea más común que cualquier otro, así que es de esperar de cada uno de los dígitos del $1$ al $9$ aparecerían cada $\frac19$ de las veces. Suena plausible y hasta lógico, pero es erróneo.
Los dígitos iniciales de los factoriales siguen la ley de BenfordDe hecho, los factoriales siguen esta ley incluso mejor que las mismas constantes físicas. 
Aquí está un gráfico de los dígitos iniciales de los factoriales de $1$ a $500$.
En lo sucesivo se va a explicar por qué la ley de Benford debe aplicarse a los factoriales, haciendo un lado las estadísticas y señalando una característica interesante del código Python se utilizó para generar la tabla de arriba.


¿Por qué se aplica la ley de Benford?


Una forma de justificar la ley de Benford es decir que las constantes físicas se distribuyen de manera uniforme, pero en una escala logarítmica. Lo mismo es cierto para los factoriales, y es fácil ver por qué.
Las principales cifras de los logaritmos dependen en sus logaritmos en base 10. La función gamma se extiende la función factorial y es $\log$-convexa. El logaritmo de la función gamma es bastante plana (ver diagrama) 
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(Se han mezclado los registros de base $10$ y troncos naturales aquí, pero eso no importa. Todos los logaritmos son los mismos hasta una constante multiplicativa. Así que si una parcela es casi lineal en una escala $\log 10$, es casi lineal en un logaritmo natural escala.)

¿Uniforme en qué escala?


Este ejemplo nos lleva a un principio importante en las estadísticas. Algunos dicen que si usted no tiene una razón para asumir cualquier otra cosa, utilice una distribución uniforme. Por ejemplo, algunos dicen que una prioridad uniforme es la ideal prioridad no  informativa para la estadística bayesiana. Pero usted tiene que preguntarse "¿uniforme sobre qué escala?" Resulta que los dígitos de las constantes físicas y factoriales son de hecho uniformemente distribuidas, pero en una escala logarítmica.

domingo, 6 de septiembre de 2015

Epifanías


Sin duda $e, \pi\text{ y }\phi$ son los números más fascinantes de la Matemática. Y curiosamente los tres son números irracionales, aunque de clases diferentes: los dos primeros son trascendentes (no son soluciones de ecuaciones polinómicas de coeficientes racionales), y el tercero es algebraico, que es la raíz positiva de $x^2+x-1=0$.

Estos números han llamado la atención de los matemáticos y de los aficionados a los números durante siglos y se ha ganado el derecho de estar entre los números más interesantes  de la Matemática, pues aparecen en las formas más insospechadas y en los lugares menos esperados.


¿El ser humano inventó estos números o solo los descubrió?

El número $e$ (número de Euler), es la base del logaritmo natural, presente en la radioactividad, en el crecimiento o decrecimiento de poblaciones humanas o bacterianas, en la Economía y en la Estadística. Se le considera el número más importante del Análisis

El número $\pi$ es quizá el más fascinante de todos. Fue causa de que durante aproximadamente 7000 años se debatiera sobre su naturaleza, está relacionado con un problema de la Grecia Clásica: La cuadratura del círculo. Y no fue hasta 1882 cuando Ferdinand von Lindemann demostrara que cuadrar un círculo era imposible, pues $\pi$ no es solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, es decir, no es irracional algebraico, sino trascendente. Es el número más importante de la Geometría.


El número $\phi$ ha sido venerado desde la antigüedad pues aparece en la naturaleza y hasta en nuestro propio cuerpo. Ha sido llamado de muchas formas: "el número de oro", "la proporción divina", "la razón dorada"... pues es la razón con la que la naturaleza busca acomodarse de la manera más óptima: en la disposición de las hojas de una planta, en las espirales de los caracoles, piñas, girasoles, etc; en la proporción de nuestros rasgos faciales y extremidades, entre otras.
Es el número que ha tomado el ser humano para diseñar cosas agradables al ojo, pues extrañamente, guarda una perfección artística y natural. Es el número de la belleza, de la estética. 

martes, 7 de julio de 2015

Discusiones en torno al Trabajo y la Energía

(Actividad: Foro evaluable para el curso de Física General para la carrera de Enseñanza de la Matemática, PAC II-2015)

1. ¿Por qué se puede afirmar que una persona cargando tres libros de texto mientras se desplaza horizontalmente no realiza trabajo sobre los libros?



Al cargar cualquier masa mientras se desplaza de forma horizontal no se realiza ningún trabajo puesto que la fuerza que se efectúa sobre los tres libros de texto para sostenerlos (hacia arriba), es perpendicular a la superficie por la cual se desplaza quien los sostiene, y para realizarse trabajo la fuerza involucrada debe ser paralela al desplazamiento. 

Matemáticamente, si $M_1$, $M_2$ y $M_3$ son las masas de los tres libros se tiene que los pesos de ellas serán 

$$F_{G1}=M_1\cdot g$$
$$F_{G2}=M_2\cdot g$$
$$F_{G3}=M_3\cdot g$$

Luego $$\sum F_y=F_N-M_1\cdot g-M_2\cdot g-M_3\cdot g$$

$$F_N-(M_1+M_2+M_3)\cdot g=0$$
$$F_N=(M_1+M_2+M_3)\cdot g$$

Donde $F_N$ es la fuerza ejercida por las manos sobre los libros mientras se sostienen cargados de manera estática. Entonces, los vectores de la fuerza ejercida y el desplazamiento horizontal $d_x$ cumplen que $\vec{F_N}\cdot \vec{d_x}=0$, (es decir $F_N\perp d_x$).

Entonces

$$W=F\cdot d\,\cos\theta,$$ 

$$W=F_N\cdot d_x\,\cos(90^o)\Longrightarrow W=F_N\cdot d_x\cdot 0\Longrightarrow W=0$$

Con lo que se concluye que no se efectúa trabajo alguno. (Unidad didáctica, págs. $164-165$)



2. Tomando en cuenta que el trabajo se obtiene de un producto escalar de dos vectores, ¿Es el trabajo un vector o un escalar? ¿Por qué?


Precisamente, el producto escalar o producto punto entre dos vectores es una cantidad escalar.

Sean dos vectores en el espacio $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$, entonces se define el producto $u\cdot v$ como la suma del producto de sus componentes:

$$\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,u_2,u_3)\cdot(v_1,v_2,v_3)=\sum u_i\cdot v_i=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3$$

Así, en el cálculo de $W$ se tiene el producto punto entre los vectores paralelos $\vec{F}$ y $\vec{d}$, que es un escalar (Unidad didáctica, pág. $167$).


3. ¿Si dos cuerpos de masas $m$ y $2m$ se desplazan con la misma energía cinética, tendrán la misma velocidad? ¿Por qué?


Sabiendo que la Energía cinética viene dada por $K=\frac12mv^2$ (Unidad didáctica, pág. $172$), los cuerpos de masas $m$ y $2m$ tendrán energías cinéticas respectivas de

$$K_1=\frac12mv^2 \mbox{ y }K_2=\frac12\cdot(2m)v^2=mv^2$$

Si ambas se desplazan con la misma Energía Cinética, se tiene que

$$K_1=K_2\Longrightarrow\frac12mv^2=mv^2$$

Como ambas masas son no nulas, resulta $\frac12v^2=v^2$, que solo puede darse sí y solo sí $v=0$, es decir, que ambos cuerpos se encuentren en reposo (tienen velocidades iguales).