Cálculo de Integral por Sustitución Trigonométrica

En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers:

http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110208165454AAUgQrr

Demostrar que $$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\ln{\lvert x+\sqrt{x^2-1}\rvert}+C$$
Realizando la sustitución trigonométrica en la integral
$$x=\sec\theta(*)\Longrightarrow dx=\sec\theta\cdot\tan\theta\;d\theta,$$ y considerando el dominio $$0\leq\theta<\pi/2 \quad\wedge\quad\pi\leq\theta<3\pi/2$$
Donde $$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sqrt{\tan^2\theta}=\tan\theta,$$ ya que $$|\tan\theta|=\tan\theta$$ , (debido al dominio) por lo que tenemos la integral equivalente
$$\int\frac{\sec\theta\cdot\tan\theta}{\tan\theta}\;d\theta=\int\sec\theta\;d\theta= \ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$$ , que es una integral directa.

Y finalmente, volviendo a la variable original, tenemos por
$$(*)\quad\text{ y }\quad\tan\theta=\sqrt{x^2-1}$$
según el triángulo rectángulo en el siguiente link:
http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP732819e7e06ce9ifac0400003b707g4700hh40ag?MSPStoreType=image/gif&s=38&w=200&h=200

Por lo tanto

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\ln{\lvert x+\sqrt{x^2-1}\rvert}+C$$ como se quería.