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sábado, 5 de febrero de 2011

Demostración sencilla


En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers: http://goo.gl/SnH3y

Demostrar que $(a^{-1})^{-1}=a$, sabiendo que $a^{-1}=\frac1a\,\,\,(*)$

Tomando (*), y elevando ambos lados a la $-1$, se tiene que :
$$(a^{-1})^{-1}=\left(\frac1a\right) ^{-1}$$
$(a^{-1})^{-1}=\frac{1^{-1}}{a^{-1}}$ ya que $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ $$(a^{-1})^{-1}=\frac{1}{\frac1a}$$ Además, como $$\frac{1}{\frac1a}=1\div\frac1a=1\cdot a$$
$(a^{-1})^{-1}=\frac{a}{1}=a$, como se quería.

5 comentarios:

  1. EL problema no es es la demostracion en algebra. Sino en Algebre lineal. La ecuación corresponde a demostrar que La inversa de la inversa de una matriz, es igual a la matriz original. Y en lenguaje operaciones de matrices no se puede escribir una matriz A como 1/a.
    Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:
    A^t^-1= A^-1^t=
    Y, evidentemente:
    A^-1^-1=A

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  2. Me ayudan con esta demostración a^-1=1/a

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  3. ((a^-1)^-1)=a se debe a:
    =((a^-1)^-1) * 1 (Ax. Identidad)
    =((a^-1)^-1) * (a * (a^-1)) (Ax. Inverso multiplica.)
    =((a^-1)^-1) * ((a^-1) * a) (Ax. Conmutación)
    =(((a^-1)^-1) * (a^-1)) * a (Ax. Asociatividad)
    = 1 * a (Ax. Inverso multiplica.)
    = a (Ax. Identidad)

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