Páginas

martes, 28 de mayo de 2013

Resolución de un problema de Probabilidad en lanzamiento de dados

En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers: http://goo.gl/FyDbb
_______________________________________________________________________
PROBLEMA

Demostrar que al lanzar un par de dados $12$ veces, como mínimo en $2$ de esos $12$ lanzamientos se obtendrá la misma suma de puntos.


SOLUCIÓN:

Llamemos $S$ al espacio muestral donde se tira un par de dados. Además $S$ es equiprobable y tiene $6\cdot 6=36$ puntos posibles. Sea también $X$ la variable aleatoria de $S$ que indica la suma de los números que salen al lanzar dos dados. Entonces:

$$X(a,b)=a+b$$

Basta contar el número de puntos para cada posibilidad de las sumas de los valores de los dos dados de la siguiente forma:

  • Un punto $(1,1)$ tiene como suma $2$, por eso $f(2)=\frac{1}{36}$.
  • Dos puntos $(1,2),(2,1)$ tienen suma $3$, entonces $f(3)=\frac{2}{36}$.
  • Tres puntos $(1,3),(2,2),(3,1)$ tienen suma $4$, entonces $f(4)=\frac{3}{36}$.

Y así, de manera similar,

$$f(5)=\frac{4}{36},\,f(6)=\frac{5}{36},\,f(7)=\frac{6}{36},...,f(12)=\frac{1}{36}$$

Luego, la Media, Esperanza Matemática o Valor Esperado de la variable aleatoria $X$ viene dado por:

$$\mu=E(X)=\sum_ix_if(x_i)$$

Es decir,

$$E(X)=2\left(\frac{1}{36}\right)+3\left(\frac{2}{36}\right)+4\left(\frac{3}{36}\right)+5\left(\frac{4}{36}\right)+6\left(\frac{5}{36}\right)+7\left(\frac{6}{36}\right)$$
$$+8\left(\frac{5}{36}\right)+9\left(\frac{4}{36}\right)+10\left(\frac{3}{36}\right)+11\left(\frac{2}{36}\right)+12\left(\frac{1}{36}\right)$$
$$\therefore \mu=E(X)=\frac{252}{36}=7$$

Con este valor $\mu$ (media, esperanza o valor esperado) estamos listos para calcular la desviación típica del experimento (que se puede interpretar en este caso como la cantidad  mínima de lanzamientos para obtener el mismo total). Primero debemos calcular la Varianza (pues es necesaria para obtener la Desviación Típica) cuya ecuación viene dada por:

$$Var(X)=\sum x_i^2f(x_i)-\mu^2$$

Así
$$Var(X)=2^2\left(\frac{1}{36}\right)+3^2\left(\frac{2}{36}\right)+4^2\left(\frac{3}{36}\right)+\cdots+12^2\left(\frac{1}{36}\right)-7^2$$
$$=\frac{1974}{36}-49=54,8333...-49=5,8333...$$

De aquí, sólo queda aplicar la fórmula de la desviación típica (en función de la varianza) $$\sigma_X=\sqrt{Var(X)}$$

Entonces $\sigma_X=\sqrt{5,8333}=2,415...$ y

$\therefore$ El número mínimo necesario de lanzamientos para obtener el mismo total es $2$, tal como se quería.

2 comentarios:

  1. te entendi bien .. pero por que en F(12) = 1/36 ,,no es 11/36 ...gracias !!!

    ResponderEliminar
  2. Como $f(12)$ significa el total de la suma de los dados, sólo hay una vez que ocurre el evento en 6+6=12. Puede notar que esa distribución de frecuencias "sube y baja". El pico más alto es la suma 7. La gráfica en su forma continua sería la campana de Gauss, por eso, en 2 y en 12 sólo ocurre una vez, en 3 y 11, 2 veces... y así sucesivamente.

    ResponderEliminar

Su opinión es muy importante.