Aproximaciones analíticas al número $\pi$

El maravilloso número $\pi$ ;ha sido objeto de fascinantes protagonismos a lo largo de casi $7\,000$ años de Historia. Podría decirse que desde la invención de la rueda en el Neolítico el hombre ha tratado con este número y aún más acá, ya en la Historia conocida, ha empezado a comprenderle y aproximarle a medida que su conocimiento científico evoluciona. Sabemos que Arquímedes llegó a una aproximación bastante satisfactoria —tomando en cuenta los conocimientos limitados de que disponía en aquel tiempo— mediante su ingenioso Método de Exhaución. Luego las diferentes civilizaciones a través del tiempo —y gracias al estudio del legendario problema de la Cuadratura del Círculo—, se ciñeron en su cálculo para ganar el privilegio de ser quien demostrara su naturaleza misteriosa (racionalidad o irracionalidad) hasta que hizo aparición en escena de esta gran obra Ferdinand Von Lindemann en $1\,882$, quien demostró la irracionalidad trascendente de $\pi$ cerrando para siempre la posibilidad de cuadrar el círculo y abriendo la puerta al mundo científico, hacia uno de los misterios numéricos mejor guardados de la Matemática.

El número $\pi$ es irracional trascendente (cosa no tan sencilla de definir como de pronunciar. Significa que no es posible representarlo como una razón entre dos números enteros —es decir, no tiene expansión decimal periódica—, ni puede ser solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales). Pero aunque el matemático pueda ahora ubicarlo dentro de esa familia extraña de números, se han abierto otras cuestiones sobre su expansión decimal. Por ejemplo, como tiene decimales infinitos y no periódicos, se ha cuestionado sobre su normalidad en base $10$ (si en su expansión decimal se encuentran cada uno de los diez dígitos del sistema decimal con la misma probabilidad de aparición).

He aquí su representación en distintas bases:

Base decimal: $3,14159265358979323846...$

Base binaria: $11,00100100001111110110...$

Base hexadecimal: $3,243F6A8885A308D31319...$

y como Fracción continua: $$3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\ddots}}}}$$

Pero aparte de estas representaciones, $\pi $ puede escribirse analíticamente como el número convergente de varias series de sumas y productos, así como de integrales, donde se involucran números racionales:

$$\pi=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(-1)^k\cdot 3^{\frac{1}{2}-k}}{2k+1}$$

En $1\,682$ Leibniz calculó de forma bastante complicada la serie que lleva su nombre:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}=\pi$$

En $1\,655$ John Wallis desarrolló su conocida serie el Producto de Wallis:

$$2\cdot\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\pi$$

El genio Leonhard Euler también hizo su aporte:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}n!^2}{(2n+1)!}=\pi$$

Puede aproximarse mediante las siguientes integrales (la primera es el área de un círculo unitario, y la segunda la mitad de la longitud del mismo círculo):

$$\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\pi$$

$$2\cdot\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\pi$$

Carl Friedrich Gauss, lo calculó en una integral, que representa el área bajo la curva llamada campana de Gauss, utilizada en Estadística:

$$\left[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx\right]^2=\pi$$

Las siguientes dos, propuestas por Euler en $1\,735$ utilizando la función zeta de Riemann, como resultado del Problema de Basilea:

$$\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$

$$\zeta(4)=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots=\frac{\pi^4}{90}$$

Y esta última, utilizando el inverso de esa misma función con el valor del argumento igual a $2$, se obtiene la interesante representación en forma de producto infinito:

$$\frac{1}{\zeta(2)}=\lim_{n\rightarrow\infty\atop p_n\in P} \left(1+\frac{1}{2^2}\right) \left(1+\frac{1}{3^2}\right) \left(1+\frac{1}{5^2}\right) \left(1+\frac{1}{7^2}\right) \left(1+\frac{1}{11^2}\right)$$

$$\cdots \left(1+\frac{1}{p_n^2}\right)=\frac{6}{\pi^2}$$

donde $p_n$ es el n-ésimo número primo. Precisamente este límite es el inverso de la resolución del Problema de Basilea obtenido por Euler con el uso de la sumatoria, más arriba expuesto.

________________________________________________________

El siguiente es un verso de M. Golmayo que es una forma para memorizar los primeros $20$ dígitos de $\pi$ contando las letras de cada palabra:

Soy y seré a todos indefinible

mi nombre tengo que daros

cociente diametral siempre inmedible

soy de los redondos aros.

NOTA

Este post está dedicado a un amigo quien me preguntó sobre las distintas "fórmulas" que dieran como resultado $\pi$ pues quería tatuárselo en el abdomen. De una manera diferente, yo me hice un tatuaje en mi brazo izquierdo, con todas las fórmulas analíticas propuestas  en este artículo (menos la primera integral ni las expresadas con la función zeta de Riemann).