Epifanías

Sin duda $e, \pi\text{ y }\phi$ son los números más fascinantes de la Matemática. Y curiosamente los tres son números irracionales, aunque de clases diferentes: los dos primeros son trascendentes (no son soluciones de ecuaciones polinómicas de coeficientes racionales), y el tercero es algebraico, que es la raíz positiva de $x^2+x-1=0$.

Estos números han llamado la atención de los matemáticos y de los aficionados a los números durante siglos y se ha ganado el derecho de estar entre los números más interesantes de la Matemática, pues aparecen en las formas más insospechadas y en los lugares menos esperados.

¿El ser humano inventó estos números o solo los descubrió?

El número $e$ (número de Euler), es la base del logaritmo natural, presente en la radioactividad, en 

el crecimiento o decrecimiento de poblaciones humanas o bacterianas, en la Economía y en la Estadística. Se le considera el número más importante del Análisis.

El número $\pi$ es quizá el más fascinante de todos. Fue causa de que durante aproximadamente 7000 años se debatiera sobre su naturaleza, está relacionado con un problema de la Grecia Clásica: La cuadratura del círculo. Y no fue hasta 1882 cuando Ferdinand von Lindemann demostrara que cuadrar un círculo era imposible, pues $\pi$ no es solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, es decir, no es irracional algebraico, sino trascendente. Es el número más importante de la Geometría. El número $\phi$ ha sido venerado desde la antigüedad pues aparece en la naturaleza y hasta en nuestro propio cuerpo. Ha sido llamado de muchas formas: "el número de oro", "la proporción divina", "la razón dorada"... pues es la razón con la que la naturaleza busca acomodarse de la manera más óptima: en la disposición de las hojas de una planta, en las espirales de los caracoles, piñas, girasoles, etc; en la proporción de nuestros rasgos faciales y extremidades, entre otras.


Es el número que ha tomado el ser humano para diseñar cosas agradables al ojo, pues extrañamente, guarda una perfección artística y natural. Es el número de la belleza, de la estética.

A continuación, algunas expresiones matemáticas donde se relacionan estos números fascinantes...

En estas otras, se relacionan los números $\pi$, $\phi$ y $e$ de forma magnífica, son verdaderas $e\pi\phi$anías:

$$\phi=\frac{1\pm\sqrt{1-4e^{\pi i}}}{2}$$

$$e^{\frac{\sqrt{2+\phi}}{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\left( k\frac{\pi}{10}\right)}{k!\cos\left(\frac{\phi}{2}\right)}$$

$$-{\frac{\pi^{2}}{12e^{3}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{2}}}\cdot\cos \left({\frac{9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right)$$
(Llamada Fórmula de Gosper)

$$\frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi}}{1+ \frac{e^{-4\pi}}{1+\cdots}}}=\left(\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{2}}-\frac{1+\sqrt5}{2} \right)\cdot \frac{2e}{5^{\pi}}$$

Esta última fue hecha por Ramanujan. Note que la expresión del paréntesis puede reducirse $\sqrt{2+\phi}-\phi$, donde $\phi$ es el número de oro.

Entre $\pi$ y $\phi$:

$$2\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\phi$$

$$2\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)=\sqrt{3-\phi}$$

Aquí las fórmulas relacionan a los números $e$ y $\pi$, (en algunas también $\sqrt2$):

$$\int_{{-}\infty}^{{+}\infty}\frac{\cos x}{(1+x^2)^2}\,dx=\frac{\pi}{e}$$

$$\lim_{n\to{+}\infty}\frac{e^n n!}{n^n\cdot\sqrt{n}}=\sqrt{2\pi}$$

$$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

$$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}$$

$$\frac{e^{\pi}-1}{e^{\pi}+1}=\frac{\pi}{2+\frac{\pi^2}{6+\frac{\pi^2}{10+\frac{\pi^2}{14\cdots}}}}$$

Y en la relación más famosa de todas, La Identidad de Euler:

$$e^{\pi i}+1=0$$