Páginas

domingo, 9 de junio de 2013

Aproximaciones analíticas al número $\pi$

El maravilloso número $\pi$ ;ha sido objeto de fascinantes protagonismos a lo largo de casi $7\,000$ años de Historia. Podría decirse que desde la invención de la rueda en el Neolítico el hombre ha tratado con este número y aún más acá, ya en la Historia conocida, ha empezado a comprenderle y aproximarle a medida que su conocimiento científico evoluciona. Sabemos que Arquímedes llegó a una aproximación bastante satisfactoria —tomando en cuenta los conocimientos limitados de que disponía en aquel tiempo— mediante su ingenioso Método de Exhaución. Luego las diferentes civilizaciones a través del tiempo —y gracias al estudio del legendario problema de la Cuadratura del Círculo—, se ciñeron en su cálculo para ganar el privilegio de ser quien demostrara su naturaleza misteriosa (racionalidad o irracionalidad) hasta que hizo aparición en escena de esta gran obra Ferdinand Von Lindemann en $1\,882$, quien demostró la irracionalidad trascendente de $\pi$ cerrando para siempre la posibilidad de cuadrar el círculo y abriendo la puerta al mundo científico, hacia uno de los misterios numéricos mejor guardados de la Matemática.

El número $\pi$ es irracional trascendente (cosa no tan sencilla de definir como de pronunciar. Significa que no es posible representarlo como una razón entre dos números enteros —es decir, no tiene expansión decimal periódica—, ni puede ser solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales). Pero aunque el matemático pueda ahora ubicarlo dentro de esa familia extraña de números, se han abierto otras cuestiones sobre su expansión decimal. Por ejemplo, como tiene decimales infinitos y no periódicos, se ha cuestionado sobre su normalidad en base $10$ (si en su expansión decimal se encuentran cada uno de los diez dígitos del sistema decimal con la misma probabilidad de aparición).


He aquí su representación en distintas bases:

Base decimal: $3,14159265358979323846...$

Base binaria: $11,00100100001111110110...$

Base hexadecimal: $3,243F6A8885A308D31319...$


y como Fracción continua: $$3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\ddots}}}}$$

Pero aparte de estas representaciones, $\pi $ puede escribirse analíticamente como el número convergente de varias series de sumas y productos, así como de integrales, donde se involucran números racionales:

$$\pi=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(-1)^k\cdot 3^{\frac{1}{2}-k}}{2k+1}$$

En $1\,682$ Leibniz calculó de forma bastante complicada la serie que lleva su nombre:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{2n+1}=\pi$$

En $1\,655$ John Wallis desarrolló su conocida serie el Producto de Wallis:

$$2\cdot\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\pi$$

El genio Leonhard Euler también hizo su aporte:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}n!^2}{(2n+1)!}=\pi$$

Puede aproximarse mediante las siguientes integrales (la primera es el área de un círculo unitario, y la segunda la mitad de la longitud del mismo círculo):

$$\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\pi$$

$$2\cdot\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\pi$$

Carl Friedrich Gauss, lo calculó en una integral, que representa el área bajo la curva llamada campana de Gauss, utilizada en Estadística:

$$\left[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx\right]^2=\pi$$

Las siguientes dos, propuestas por Euler en $1\,735$ utilizando la función zeta de Riemann, como resultado del Problema de Basilea:

$$\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$

$$\zeta(4)=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots=\frac{\pi^4}{90}$$

Y esta última, utilizando el inverso de esa misma función con el valor del argumento igual a $2$, se obtiene la interesante representación en forma de producto infinito:


$$\frac{1}{\zeta(2)}=\lim_{n\rightarrow\infty\atop p_n\in P} \left(1+\frac{1}{2^2}\right) \left(1+\frac{1}{3^2}\right) \left(1+\frac{1}{5^2}\right) \left(1+\frac{1}{7^2}\right) \left(1+\frac{1}{11^2}\right)$$


$$\cdots \left(1+\frac{1}{p_n^2}\right)=\frac{6}{\pi^2}$$


donde $p_n$ es el n-ésimo número primo. Precisamente este límite es el inverso de la resolución del Problema de Basilea obtenido por Euler con el uso de la sumatoria, más arriba expuesto.


________________________________________________________

El siguiente es un verso de M. Golmayo que es una forma para memorizar los primeros $20$ dígitos de $\pi$ contando las letras de cada palabra:


Soy y seré a todos indefinible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.



NOTA
Este post está dedicado a un amigo quien me preguntó sobre las distintas "fórmulas" que dieran como resultado $\pi$ pues quería tatuárselo en el abdomen. De una manera diferente, yo me hice un tatuaje en mi brazo izquierdo, con todas las fórmulas analíticas propuestas  en este artículo (menos la primera integral ni las expresadas con la función zeta de Riemann).


martes, 28 de mayo de 2013

Resolución de un problema de Probabilidad en lanzamiento de dados

En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers: http://goo.gl/FyDbb
_______________________________________________________________________
PROBLEMA

Demostrar que al lanzar un par de dados $12$ veces, como mínimo en $2$ de esos $12$ lanzamientos se obtendrá la misma suma de puntos.


SOLUCIÓN:

Llamemos $S$ al espacio muestral donde se tira un par de dados. Además $S$ es equiprobable y tiene $6\cdot 6=36$ puntos posibles. Sea también $X$ la variable aleatoria de $S$ que indica la suma de los números que salen al lanzar dos dados. Entonces:

$$X(a,b)=a+b$$

Basta contar el número de puntos para cada posibilidad de las sumas de los valores de los dos dados de la siguiente forma:

  • Un punto $(1,1)$ tiene como suma $2$, por eso $f(2)=\frac{1}{36}$.
  • Dos puntos $(1,2),(2,1)$ tienen suma $3$, entonces $f(3)=\frac{2}{36}$.
  • Tres puntos $(1,3),(2,2),(3,1)$ tienen suma $4$, entonces $f(4)=\frac{3}{36}$.

Y así, de manera similar,

$$f(5)=\frac{4}{36},\,f(6)=\frac{5}{36},\,f(7)=\frac{6}{36},...,f(12)=\frac{1}{36}$$

Luego, la Media, Esperanza Matemática o Valor Esperado de la variable aleatoria $X$ viene dado por:

$$\mu=E(X)=\sum_ix_if(x_i)$$

Es decir,

$$E(X)=2\left(\frac{1}{36}\right)+3\left(\frac{2}{36}\right)+4\left(\frac{3}{36}\right)+5\left(\frac{4}{36}\right)+6\left(\frac{5}{36}\right)+7\left(\frac{6}{36}\right)$$
$$+8\left(\frac{5}{36}\right)+9\left(\frac{4}{36}\right)+10\left(\frac{3}{36}\right)+11\left(\frac{2}{36}\right)+12\left(\frac{1}{36}\right)$$
$$\therefore \mu=E(X)=\frac{252}{36}=7$$

Con este valor $\mu$ (media, esperanza o valor esperado) estamos listos para calcular la desviación típica del experimento (que se puede interpretar en este caso como la cantidad  mínima de lanzamientos para obtener el mismo total). Primero debemos calcular la Varianza (pues es necesaria para obtener la Desviación Típica) cuya ecuación viene dada por:

$$Var(X)=\sum x_i^2f(x_i)-\mu^2$$

Así
$$Var(X)=2^2\left(\frac{1}{36}\right)+3^2\left(\frac{2}{36}\right)+4^2\left(\frac{3}{36}\right)+\cdots+12^2\left(\frac{1}{36}\right)-7^2$$
$$=\frac{1974}{36}-49=54,8333...-49=5,8333...$$

De aquí, sólo queda aplicar la fórmula de la desviación típica (en función de la varianza) $$\sigma_X=\sqrt{Var(X)}$$

Entonces $\sigma_X=\sqrt{5,8333}=2,415...$ y

$\therefore$ El número mínimo necesario de lanzamientos para obtener el mismo total es $2$, tal como se quería.

sábado, 25 de mayo de 2013

Humor Matemático de Cragfelt

Algunas de estas ocurrencias matemáticas fueron publicadas alguna vez en mi cuenta de Twitter. Y como todo chiste gremial, no hará la menor gracia a menos que se tenga algún conocimiento del tema. Ahora bien, al tratarse de bromas matemáticas, el hecho simple de reírse implica una fuerte inclinación hacia la cultura geekAhí se los dejo a ustedes para su plena libertad de uso y difusión. Que los disfruten.


#1 Los adolescentes deberían comportase como la gráfica de la Función Logarítmica y el eje "Y": que se acerquen todo lo que quieran pero que nunca se toquen.

#2 "El emoticón" que se usa para escribir el corazón es perfectamente lógico, pues el amor es menor que $3$ (es de $2$), es decir $$AMOR < 3$$

#3 Algunas preguntas capciosas:


  • ¿Si un matemático pierde la razón, es porque se vuelve irracional?
  • ¿Por qué nadie entiende la Trigonometría si a tangente le gustan los senos?
  • ¿No es contradictorio que el pan integral tenga por ingrediente un derivado de la leche?
  • ¿Entonces Goldbach decía que si dos primos se casaban, siempre tendrían hijos que se dividieran por la mitad?

#4 Jesús conocía la importancia de las cónicas. Siempre hablaba en parábolas.


#5 No es lo mismo "Los senos de la diosa Hera", que "Eran los senos de una diosa".

#6
—¿Es $\pi$ perfectamente normal?
—Pues, no lo sé profesor. No conozco a su psicólogo.

#7
—En esta función $K$, ¿qué pasa cuando “a tiende a $1$”?
—$K$ permanece constante.
—Bien ¿y cuando “a tiende a $10$”?
—Diay, si atiende más, $K$ se vuelve loca.

#8
―¡No seas tan corriente! ―le dijo el logaritmo decimal al natural.
―¡No seas tan vulgar! ―le contestó.

#9

—Where are we dude?

Waze a minute.


#10 Y he aquí un par en inglés, 

"It is ironic that some shy mathematicians most likely will not be able to integrate to a functional and derivative woman."

Y este está un poco pasado.

"Mathematicians never concern about choosing fat or slim girls to get laid with. They know all women are topologically the same."

martes, 14 de mayo de 2013

Algunos versos matemáticos

Isomorfismos y Féminas

La que es inyectiva se relaciona sin terceros.
A la sobreyectiva no le sobra ningún elemento.
Y aunque la biyectiva tiene los dos atributos,
no le falta una inversa y a su criterio detrimento.


Cántico del Logaritmo

El logaritmo toca a un ritmo
cuando su argumento y la base es el mismo.

Para los obstinados números
existen argumentos muchos
todos racionales e irracionales.
No comprenden, los de mente debiluchos
que aunque en común tengan un vacío,
la unión es real, todos son reales.
Nadie tendrá un argumento como el mío.