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martes, 28 de mayo de 2013

Resolución de un problema de Probabilidad en lanzamiento de dados

En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers: http://goo.gl/FyDbb
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PROBLEMA

Demostrar que al lanzar un par de dados $12$ veces, como mínimo en $2$ de esos $12$ lanzamientos se obtendrá la misma suma de puntos.


SOLUCIÓN:

Llamemos $S$ al espacio muestral donde se tira un par de dados. Además $S$ es equiprobable y tiene $6\cdot 6=36$ puntos posibles. Sea también $X$ la variable aleatoria de $S$ que indica la suma de los números que salen al lanzar dos dados. Entonces:

$$X(a,b)=a+b$$

Basta contar el número de puntos para cada posibilidad de las sumas de los valores de los dos dados de la siguiente forma:

  • Un punto $(1,1)$ tiene como suma $2$, por eso $f(2)=\frac{1}{36}$.
  • Dos puntos $(1,2),(2,1)$ tienen suma $3$, entonces $f(3)=\frac{2}{36}$.
  • Tres puntos $(1,3),(2,2),(3,1)$ tienen suma $4$, entonces $f(4)=\frac{3}{36}$.

Y así, de manera similar,

$$f(5)=\frac{4}{36},\,f(6)=\frac{5}{36},\,f(7)=\frac{6}{36},...,f(12)=\frac{1}{36}$$

Luego, la Media, Esperanza Matemática o Valor Esperado de la variable aleatoria $X$ viene dado por:

$$\mu=E(X)=\sum_ix_if(x_i)$$

Es decir,

$$E(X)=2\left(\frac{1}{36}\right)+3\left(\frac{2}{36}\right)+4\left(\frac{3}{36}\right)+5\left(\frac{4}{36}\right)+6\left(\frac{5}{36}\right)+7\left(\frac{6}{36}\right)$$
$$+8\left(\frac{5}{36}\right)+9\left(\frac{4}{36}\right)+10\left(\frac{3}{36}\right)+11\left(\frac{2}{36}\right)+12\left(\frac{1}{36}\right)$$
$$\therefore \mu=E(X)=\frac{252}{36}=7$$

Con este valor $\mu$ (media, esperanza o valor esperado) estamos listos para calcular la desviación típica del experimento (que se puede interpretar en este caso como la cantidad  mínima de lanzamientos para obtener el mismo total). Primero debemos calcular la Varianza (pues es necesaria para obtener la Desviación Típica) cuya ecuación viene dada por:

$$Var(X)=\sum x_i^2f(x_i)-\mu^2$$

Así
$$Var(X)=2^2\left(\frac{1}{36}\right)+3^2\left(\frac{2}{36}\right)+4^2\left(\frac{3}{36}\right)+\cdots+12^2\left(\frac{1}{36}\right)-7^2$$
$$=\frac{1974}{36}-49=54,8333...-49=5,8333...$$

De aquí, sólo queda aplicar la fórmula de la desviación típica (en función de la varianza) $$\sigma_X=\sqrt{Var(X)}$$

Entonces $\sigma_X=\sqrt{5,8333}=2,415...$ y

$\therefore$ El número mínimo necesario de lanzamientos para obtener el mismo total es $2$, tal como se quería.

sábado, 25 de mayo de 2013

Humor Matemático de Cragfelt

Algunas de estas ocurrencias matemáticas fueron publicadas alguna vez en mi cuenta de Twitter. Y como todo chiste gremial, no hará la menor gracia a menos que se tenga algún conocimiento del tema. Ahora bien, al tratarse de bromas matemáticas, el hecho simple de reírse implica una fuerte inclinación hacia la cultura geekAhí se los dejo a ustedes para su plena libertad de uso y difusión. Que los disfruten.


#1 Los adolescentes deberían comportase como la gráfica de la Función Logarítmica y el eje "Y": que se acerquen todo lo que quieran pero que nunca se toquen.

#2 "El emoticón" que se usa para escribir el corazón es perfectamente lógico, pues el amor es menor que $3$ (es de $2$), es decir $$AMOR < 3$$

#3 Algunas preguntas capciosas:


  • ¿Si un matemático pierde la razón, es porque se vuelve irracional?
  • ¿Por qué nadie entiende la Trigonometría si a tangente le gustan los senos?
  • ¿No es contradictorio que el pan integral tenga por ingrediente un derivado de la leche?
  • ¿Entonces Goldbach decía que si dos primos se casaban, siempre tendrían hijos que se dividieran por la mitad?

#4 Jesús conocía la importancia de las cónicas. Siempre hablaba en parábolas.


#5 No es lo mismo "Los senos de la diosa Hera", que "Eran los senos de una diosa".

#6
—¿Es $\pi$ perfectamente normal?
—Pues, no lo sé profesor. No conozco a su psicólogo.

#7
—En esta función $K$, ¿qué pasa cuando “a tiende a $1$”?
—$K$ permanece constante.
—Bien ¿y cuando “a tiende a $10$”?
—Diay, si atiende más, $K$ se vuelve loca.

#8
―¡No seas tan corriente! ―le dijo el logaritmo decimal al natural.
―¡No seas tan vulgar! ―le contestó.

#9

—Where are we dude?

Waze a minute.


#10 Y he aquí un par en inglés, 

"It is ironic that some shy mathematicians most likely will not be able to integrate to a functional and derivative woman."

Y este está un poco pasado.

"Mathematicians never concern about choosing fat or slim girls to get laid with. They know all women are topologically the same."

martes, 14 de mayo de 2013

Algunos versos matemáticos

Isomorfismos y Féminas

La que es inyectiva se relaciona sin terceros.
A la sobreyectiva no le sobra ningún elemento.
Y aunque la biyectiva tiene los dos atributos,
no le falta una inversa y a su criterio detrimento.


Cántico del Logaritmo

El logaritmo toca a un ritmo
cuando su argumento y la base es el mismo.

Para los obstinados números
existen argumentos muchos
todos racionales e irracionales.
No comprenden, los de mente debiluchos
que aunque en común tengan un vacío,
la unión es real, todos son reales.
Nadie tendrá un argumento como el mío.