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martes, 14 de febrero de 2017

Probabilidades de un candidato para llegar a la presidencia



Anoche en Twitter se armó un bonito debate sobre la probabilidad de los cuatro precandidatos de cierto partido para llegar a ser presidente antes de la convención interna, que precisamente estuvieron en un debate.

Se expusieron algunas ideas en torno a si todos tienen la misma probabilidad (matemática en este caso, haciendo a un lado el favoritismo, ventaja mediática, encuestas, etc.) de llegar a sentarse en la silla presidencial. La respuesta es SÍ. Sin embargo, y por la manera en que se dieron las respuestas de los tuiteros, quizá la forma en la que se escribió originalmente el tuit de la polémica, no fue la adecuada, porque afloraron desaprobaciones partidistas, como era de esperarse, además de la discusión del proceso en las etapas necesarias para que de la elección dentro de una convención, se llegue a la elección presidencial.

No me enfocaré en la discusión partidista, ni en las réplicas que se suscitaron. Sino que abordaré el problema desde el punto de vista matemático. Pero primero, algunas respuestas en virtud de los puntos de vista que tomaron parte en la discusión:

  1. ¿Tienen todos los candidatos de una convención interna de un partido la misma probabilidad de ser presidente? R/ Sí. Dentro de esa convención. Comparándolas con las de otros partidos, serán distintas.
  2. ¿Tiene la misma probabilidad un precandidato de una convención de $4$ candidatos que los de otros partidos, aunque haya uno solo como candidato? R/ No. Pues en otras convenciones puede haber menor cantidad de precandidatos, y en el caso de un candidato único de un partido, este no tendría que pasar por la ronda preliminar o convención primaria.

El problema subyace en las etapas: precandidatura y candidatura, entre un precandidato "indirecto" a un candidato "directo" a las elecciones presidenciales. 

Pongamos este ejemplo: en el mundial de fútbol mayor, todos y cada uno de los equipos tienen exactamente las mismas probabilidades de ser campeón antes de arrancar el campeonato, ya que todos los grupos están formados por la misma cantidad de equipos aunque solo pasen $2$ de ellos a la siguiente ronda, luego hay muerte súbita en las siguientes fases (recordemos que el mundial consta de la fase de grupos, octavos de final, cuartos, semifinales y final). Cabe aclarar que a medida que van transcurriendo los partidos en la fase de grupos, las probabilidades de clasificación para cada equipo cambiarán por el juego de puntos entre ellos.

No sucede lo mismo en un proceso de elecciones populares para presidente, como las de nuestro país, pues algunos partidos políticos tienen una convención interna (fase de grupos del mundial) de $4$, $3$ o $2$; mientras que otros tienen un único postulante (clasificado a la ronda final). En este caso habría solo dos fases posibles (o tres, si el candidato con mayor cantidad de votos no alcanza el $30\,\%$ del padrón). Además en el mundial, solo dos llegan a la final, mientras que en las elecciones presidenciales, habrá candidatos como partidos se hayan inscrito.

Ahora bien, ¿cómo calculamos las probabilidades de cada candidato/precandidato cuando aún no se han elegido todos los candidatos para las elecciones presidenciales en las convenciones?

Explicaré eso con el siguiente ejemplo: supongamos que existen $4$ partidos políticos $A, B, C$ y $D$. De los cuales solo $3$ de ellos tienen convenciones internas o primarias ($A$ con $3$ precandidatos, $C$ y $D$ con $2$ cada uno). El partido $B$ tiene un único candidato que va directo a las elecciones presidenciales.

Las probabilidades de cada candidato del partido $A$ son $1$ de $3$, es decir $\displaystyle\frac13$. Las de los partidos $C$ y $D$ son $1$ de $2$, o bien, $\displaystyle\frac12$. Por su parte, cada uno de los cuatro partidos existentes tiene una probabilidad de $1$ de $4$ de llevar a su candidato a la presidencia, es decir $\displaystyle\frac14$. Las probabilidades de cada candidato/precandidato antes de efectuarse las convenciones en todos los partidos se calculan multiplicando sus probabilidades en cada convención $C$ por las de la elección presidencial $P$. Lo que se resume en el siguiente diagrama de árbol de probabilidades.



Espero que esta entrada haya servido para aclarar las dudas. Saludos.

Nota importante: Las matemáticas no fallan, los políticos sí.

miércoles, 2 de noviembre de 2016

Demostración de la Fórmula General


1. En la expresión canónica $ax^2+bx+c=0$, se divide por $a$ para obtener una expresión mónica:

$$\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac ca=0\Longrightarrow x^2+\frac{bx}{a}+\frac ca=0$$

   2. Luego se traspone el término independiente

$$x^2+\frac{bx}{a}=-\frac ca$$

   3. Se completa el cuadrado tomando $\displaystyle\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}$. Se factoriza el miembro izquierdo y se suman las fracciones en el miembro derecho

$$x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac ca+\frac{b^2}{4a^2}$$

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

   4. Finalmente, se despeja $x$

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$

$$x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$



lunes, 4 de enero de 2016

El número $2016$ y sus curiosidades



El $2016$ es un número bastante particular. A parte de las características ya conocidas por todos, como que es un número par y compuesto, también tiene otras singularidades:


  • Es abundante, pues la suma de todos sus divisores propios es mayor que $2016$.
  • Es perverso, pues tiene un número par de unos en su representación binaria: $$2016=11111100000_{(2)}$$
  • Es triangular, hexagonal e icositetragonal ($24$ lados), es decir con $2016$ puntos se pueden formar esos polígonos regulares.
  • Es cúbico, ya que se puede representar como la suma de los cubos de siete naturales consecutivos, así $$2016=3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3$$
  • Además se puede representar con potencias de $2$ en esta forma curiosa: $$2016=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5$$
  • También se puede representar de la siguiente forma, utilizando solo los dígitos del año $2$ veces y algunas operaciones $$2^{0-1+6}\cdot({2^{0+6}-1})$$
  • Y por último, también tenemos esta otra: $24$ horas $\times7$ días de la semana $\times 12$ meses, nos dan como resultado $$24\times7\times12=2016$$

¡FELIZ AÑO $2016$!


lunes, 28 de diciembre de 2015

Cifras iniciales en los Factoriales

Supongamos que usted calcula factoriales de un muchos números y apunta el primer dígito de cada resultado. Se podría argumentar que no hay ninguna razón evidente para que cualquier dígito sea más común que cualquier otro, así que es de esperar de cada uno de los dígitos del $1$ al $9$ aparecerían cada $\frac19$ de las veces. Suena plausible y hasta lógico, pero es erróneo.
Los dígitos iniciales de los factoriales siguen la ley de BenfordDe hecho, los factoriales siguen esta ley incluso mejor que las mismas constantes físicas. 
Aquí está un gráfico de los dígitos iniciales de los factoriales de $1$ a $500$.
En lo sucesivo se va a explicar por qué la ley de Benford debe aplicarse a los factoriales, haciendo un lado las estadísticas y señalando una característica interesante del código Python se utilizó para generar la tabla de arriba.


¿Por qué se aplica la ley de Benford?


Una forma de justificar la ley de Benford es decir que las constantes físicas se distribuyen de manera uniforme, pero en una escala logarítmica. Lo mismo es cierto para los factoriales, y es fácil ver por qué.
Las principales cifras de los logaritmos dependen en sus logaritmos en base 10. La función gamma se extiende la función factorial y es $\log$-convexa. El logaritmo de la función gamma es bastante plana (ver diagrama) 
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(Se han mezclado los registros de base $10$ y troncos naturales aquí, pero eso no importa. Todos los logaritmos son los mismos hasta una constante multiplicativa. Así que si una parcela es casi lineal en una escala $\log 10$, es casi lineal en un logaritmo natural escala.)

¿Uniforme en qué escala?


Este ejemplo nos lleva a un principio importante en las estadísticas. Algunos dicen que si usted no tiene una razón para asumir cualquier otra cosa, utilice una distribución uniforme. Por ejemplo, algunos dicen que una prioridad uniforme es la ideal prioridad no  informativa para la estadística bayesiana. Pero usted tiene que preguntarse "¿uniforme sobre qué escala?" Resulta que los dígitos de las constantes físicas y factoriales son de hecho uniformemente distribuidas, pero en una escala logarítmica.

domingo, 6 de septiembre de 2015

Epifanías


Sin duda $e, \pi\text{ y }\phi$ son los números más fascinantes de la Matemática. Y curiosamente los tres son números irracionales, aunque de clases diferentes: los dos primeros son trascendentes (no son soluciones de ecuaciones polinómicas de coeficientes racionales), y el tercero es algebraico, que es la raíz positiva de $x^2+x-1=0$.

Estos números han llamado la atención de los matemáticos y de los aficionados a los números durante siglos y se ha ganado el derecho de estar entre los números más interesantes  de la Matemática, pues aparecen en las formas más insospechadas y en los lugares menos esperados.


¿El ser humano inventó estos números o solo los descubrió?

El número $e$ (número de Euler), es la base del logaritmo natural, presente en la radioactividad, en el crecimiento o decrecimiento de poblaciones humanas o bacterianas, en la Economía y en la Estadística. Se le considera el número más importante del Análisis

El número $\pi$ es quizá el más fascinante de todos. Fue causa de que durante aproximadamente 7000 años se debatiera sobre su naturaleza, está relacionado con un problema de la Grecia Clásica: La cuadratura del círculo. Y no fue hasta 1882 cuando Ferdinand von Lindemann demostrara que cuadrar un círculo era imposible, pues $\pi$ no es solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, es decir, no es irracional algebraico, sino trascendente. Es el número más importante de la Geometría.


El número $\phi$ ha sido venerado desde la antigüedad pues aparece en la naturaleza y hasta en nuestro propio cuerpo. Ha sido llamado de muchas formas: "el número de oro", "la proporción divina", "la razón dorada"... pues es la razón con la que la naturaleza busca acomodarse de la manera más óptima: en la disposición de las hojas de una planta, en las espirales de los caracoles, piñas, girasoles, etc; en la proporción de nuestros rasgos faciales y extremidades, entre otras.
Es el número que ha tomado el ser humano para diseñar cosas agradables al ojo, pues extrañamente, guarda una perfección artística y natural. Es el número de la belleza, de la estética.