La Conjetura de Catalan

Las conjeturas de apariencia simple que implican números enteros pueden llegar a confundir a los matemáticos más brillantes. Como el caso del último teorema de Fermat, pueden transcurrir siglos sin que se demuestren o refuten. Es posible que algunos no se resuelvan nunca, ni siquiera con el trabajo conjunto de humanos y ordenadores.

Para acercarnos a la Conjetura de Catalan, imaginemos los cuadrados de los números naturales mayores que $1$: $4, 9, 16, 25, 36,\dots$ Consideremos ahora los cubos de los naturales (mayores que $1$): $8, 27, 64, 125\dots$ Ahora, si unimos ambos conjuntos de cuadrados y cubos y ordenamos cada elemento de menor a mayor, obtendremos $4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, \dots$ Nótese que el $8(2^3)$ y el $9(3^2)$ son consecutivos.

Eugène Charles Catalan (1814-1894)

En 1 844, el matemático belga Eugène Catalan conjeturó que el $8$ y el $9$ eran las únicas dos potencias consecutivas de números enteros. Si existiera otra pareja de números consecutivos, podría encontrarse buscando los valores enteros (mayores que 1) de $x,y,p$ y $q$ que cumplieran la expresión $x^p-y^q=1$. Catalan creía que solo existía la solución $3^2-2^3=1$.

La historia de la Conjetura de Catalan tiene otros protagonistas, cientos de años antes de él, el francés Levi ben Gerson (1288-1344) —más conocido como Gersónides o Ralbag— ya había demostrado una versión más restringida de la conjetura, según la cual las únicas potencias consecutivas de $2$ y $3$ son $2^3$ y $3^2$. Ralbag fue un famoso rabino, filósofo, matemático y talmudista.

Avancemos hasta 1 976, cuando Robert Tijdelman, de la universidad holandesa de Leiden, demostró que, de existir otras potencias consecutivas, el número de estas sería finito. En 2 002, por fin,  el matemático rumano-alemán Preda Mihăilescu, de la universidad alemana de Paderborn demostró la conjetura de Catalan y pasó a llamarse teorema de Mihăilescu.