Dominio Máximo de una función real

Algunas funciones no son continuas en todo su dominio, donde pueden haber preimágenes para las cuales no existen imágenes con qué asignarlas, ya que se derivan de operaciones "prohibidas" en la matemática. En estas situaciones, nuestra máquina de hacer números se traba, pues no produce números para los que introducimos. En esos casos decimos que la función no está definida para esos valores. Ilustremos esto mediante un ejemplo.

Ejemplo 1. Consideremos la función $f(x)=\frac1x$.

Si quisiéramos calcular algunas imágenes en esta función sin conocer cierta prohibición matemática nos veríamos atrapados en problemas. Por ejemplo, si calculamos para los valores $\{-2,-1,0,1,2\}$ tenemos lo siguiente:

$$f(-2)=\frac{1}{-2}, f(-1)=\frac{1}{-1}=-1,$$

$$f(0)=\frac{1}{0},$$

$$f(1)=\frac{1}{1}=1, f(2)=\frac{1}{2}.$$

Pero ¿dónde está el problema? Observe el cálculo que está resaltado. El problema lo origina la división por cero, la cual no está definida matemáticamente, por lo que no podemos considerar al numeral $0$ dentro del dominio, pues de hacerlo, nuestra relación ya no sería función debido a que habría un elemento en el dominio que no tendría su correspondiente imagen en el ámbito.

Precisamente, encontrar el dominio máximo de una función es hallar todos los valores (preimágenes) que tengan su correspondiente imagen (en esos valores la función está bien definida) es decir, debemos eliminar del conjunto de partida el/los posible(s) valor(es) que originen problemas matemáticos insalvables como lo son

1. La división por cero y 
2. números negativos como subradicales de raíces de índice par; 

y admitir solamente los valores permitidos para las operaciones involucradas. Según lo anterior, vamos a considerar los siguientes casos:

Caso I. Funciones Racionales

Funciones del tipo $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},$, donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios y $q(x)\not=0$ polinomio lineal o cuadrático. 

Ejemplo 2. Consideremos la función $f(x)=\frac{2x-1}{7x-21}.$ Debemos excluir el valor de $x$ que al sustituirlo en el criterio convierta el denominador en $0$. Para eso, tomamos la expresión del denominador y realizamos el siguiente procedimiento:

$$7x-21\not=0$$

$$7x\not= 21$$

$$x\not=\frac{21}{7}=3$$

Por lo que $x$ no puede tomar el valor de $3$ en la función y decimos que el dominio máximo de $f$ es $I\!R-\{3\}$ (es decir, todos los números reales con excepción del $3$).

Ejemplo 3. Hallar el dominio máximo de la función $g(x)=\frac{4x}{1-3x}$.

Solución. Tomamos el denominador $1-3x$ y decimos que debe ser diferente de cero, así $1-3x\not=0$. Ahora resolvemos esta ecuación" de primer grado: $$1-3x\not=0\rightarrow -3x\not=-1\rightarrow x\not=\frac{-1}{-3}\rightarrow x\not=\frac13$$ Por lo que el dominio máximo de $g$ será $D_g=I\!R-\{\frac13\}$.

Ejemplo 4. Para la función $f(x)=\frac{5x}{x^2-9}$ ¿cuál es su dominio máximo?

Solución. Debemos considerar en este caso que el denominador es un trinomio cuadrático, por lo que vamos a tener dos valores para los cuales el denominador se hace cero. Entonces tomamos el denominador y resolvemos ahora como una ecuación cuadrática de la siguiente manera:

$$x^2-9\not=0$$

$$x^2\not=9$$

$$x\not=\pm\sqrt9$$

$$x\not=\pm3$$

Entonces $x$ no puede tomar los valores $-3$ o $3$ en el denominador de la expresión. Decimos entonces que el dominio máximo de la función $f$ es $I\!R-\{-3,3\}.$

Notemos que para el caso de funciones racionales o fraccionarias, no tomamos en cuenta nunca la expresión del numerador para determinar su dominio máximo.

Caso II. Funciones Radicales

Son las funciones del tipo $\sqrt[n]{p(x)}$ con $n$ par y $p(x)$ polinomio lineal. Si $n$ es impar, la función tiene dominio $I\!R$.

Ejemplo 5. Hallar el dominio máximo de la función $f(x)=\sqrt{5x+1}$.

Solución. Al analizar esta función notamos que existen infinitos valores que dan como resultado  números negativos en el subradical, y esto no es permitido en $I\!R$, pues se trata de una raíz cuadrada. Entonces tomamos la expresión del subradical y escribimos:

$$5x+1\leq 0$$ (es decir, la expresión no puede tomar valores negativos)

$$5x\leq-1$$

$$x\leq -\frac{1}{5}$$

Lo cual en notación de intervalo se escribe $\left[-\frac{1}{5},+\infty\right[$ y quiere decir que el dominio máximo de $f$ será el conjunto de valores $x$ mayores o iguales que $-\frac{1}{5}$.

Caso III. Combinación de casos I y II

Son funciones como $f(x)=\frac{p(x)}{\sqrt[n]{q(x)}}$ con $n$ par y $q(x)\not=0$ un polinomio lineal.

Ejemplo 6. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por $f(x)=\frac{1-x}{\sqrt{1-2x}}$?.

Solución. Consideramos únicamente el subradical que a su vez está en el denominador. Aquí como dentro de la raíz no puede haber números negativos y el denominador no puede ser cero, entonces escribimos $1-2x\leq 0$ (estrictamente mayor que $0$) y resolvemos la inecuación: $$1-2x\leq 0\rightarrow 1\leq 2x\rightarrow \frac12\leq x\rightarrow x\in\left]-\infty,\frac12\right[.$$

Entonces los únicos valores aceptables son los que pertenecen a ese intervalo, por ende, el dominio máximo de $f$ es $D_f=\left]-\infty,\frac12\right[$.