La Lemniscata de Bernoulli

La lemniscata, también conocida como Lemniscata de  Bernoulli, es una curva polar cuya más común forma es el lugar geométrico lugar geométrico de los puntos tales que la suma $2a$ de las distancias desde dos puntos fijos llamados focos es la constante $a^2$. O también, es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de sus distancias es una constante. 

La lemniscata puede ser obtenida como la transformada inversa de una hipérbola, con el círculo inversor centrado en el centro de la hipérbola (punto medio del segmento que une los dos focos).

La ecuación cartesiana de la lemniscata es:

$$\def\label#1{} \left[(x-c)^2+y^2\right] \left[(x+c)^2+y^2\right]=c^4\tag{1}\label{1}$$

donde ambos miembros de la ecuación han sido elevados al cuadrado. Desarrollando y simplificando se obtiene:

$$\def\label#1{} (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)\tag{2}\label{2}$$

Jakob Bernoulli publicó un artículo en Acta Eruditorum en $1\,694$, donde llamó a esta curva lemniscus (cinta colgante en Latin). Bernoulli no se percató que la curva que describía era un caso especial de los óvalos de Cassini, que fueron definidos por Cassini en $1\,680$. Las propiedades generales de la lemniscata fueron descubiertas por G. Fagnano en $1\,750$. Las investigaciones de Gauss y Euler de la longitud del arco de la curva llevó a trabajar más tarde en las funciones elípticas.

La forma más general de la lemniscata es una sección tórica de un toro

$$\def\label#1{} \left(c-\sqrt{x^2+y^2}\right)^2+z^2=a^2 \tag{3}\label{3}$$

cortado por el plano $y=c-a$. Reordenando los términos se obtiene la ecuación

$$\def\label#1{} (x^2+z^2)^2=4c\left[ ax^2+(a-c)z^2 \right] \tag{4}\label{4}$$

En el caso especial $a=\frac{c}{2}$ (y reordenando $z$ como $y$), se obtiene

$$\def\label#1{} (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2) \tag{5}\label{5}$$

la cual, es la misma forma obtenida en la ecuación $(1)$.

Convirtiendo a coordenadas polares, se obtiene la ecuación

$$\def\label#1{} r^2=2c^2\cos(2\theta)\tag{6}\label{6}$$

usualmente escrita en su forma más simple

$$\def\label#1{} r^2=a^2\cos(2\theta) \tag{7}\label{7}$$

donde $a$ es una constante (que difiere del radio del toro $a$ por un factor de $\sqrt2$). Note que esta ecuación está definida únicamente para ángulos $-\frac{\pi}{4} < \theta< \frac{\pi}{4}$ y $\frac{3}{4}\pi < \theta< \frac{5}{4}\pi$. Las ecuaciones paramétricas para la lemniscata de ancho $a$ son

$$\def\label#1{} x=\frac{a\cos t}{1+\sin^2t} \tag{8}\label{8}$$

$$\def\label#1{} y=\frac{a\sin t\cdot\cos t}{1+\sin^2t} \tag{9}\label{9}$$

Además, la ecuación bipolar de la Lemniscata es

$$\def\label#1{} rr^{\prime}=\frac12a^2 \tag{10}\label{10}$$

El área de la lemniscata es
$$\begin{align} A & =2\left(\frac12\int r^2\,d\theta\right) \\ &=a^2\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2\theta)\,d\theta \\ &=a^2 \end{align}$$

Por otro lado, la lemniscata es similar al signo también utilizado en matemáticas como el signo de infinito $(\infty)$. Y, de forma aproximada, también está presente en la naturaleza. El analema, que es la curva descrita por la posición del Sol observada todos los días del año a la misma hora y desde la misma posición, se asemeja a una lemniscata:

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