El número de Champernowne

Si uniéramos o concatenáramos los números enteros positivos $(1,2,3,4,\dots)$ con un punto decimal por delante, obtendríamos el número de Champernowne (en base $10$):

$$C_{10}:=0,12345678910111213141516\dots$$

o equivalentemente,

$$C_{10}: =\sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}{\frac{k}{10 ^{kn-9\sum_{k = 0}^{n-1}10^k(n-k)}}}$$

Al igual que $\pi$ y $e$, el número de Champernowne es trascendente; es decir, no es raíz de un polinomio con coeficientes enteros. También sabemos que este número es normal en base $10$, lo que significa que cualquier patrón finito de números se produce con la frecuencia prevista para una secuencia totalmente aleatoria. David Gawen Champernowne $(1\,912-2\,000)$ demostró que este número es normal comprobando que no solo los números de $0$ al $9$ se producen exactamente con la frecuencia porcentual que tiende a $10$, sino que cada posible bloque de dos dígitos se producirá con la frecuencia porcentual que tiende a $1$, cada bloque de $3$ números con la frecuencia porcentual de $0,1$, y así sucesivamente.

Los criptógrafos ha destacado que el número de Champernowne no responde a algunos de los indicadores estadísticos de ausencia de aleatoriedad más sencillos y tradicionales. En otras palabras, los programas informáticos sencillos que intentan encontrar regularidad en secuencias, quizás no "vean" la regularidad en el número de Champernowne. Este déficit refuerza la idea de que los estadísticos deben mostrarse muy cautos al afirmar que una secuencia es aleatoria o que no tiene patrón.

Rrepresentación visual de los decimales del
número de Champernowne (del 1 hasta el 2000)

El número de Champernowne es el primer ejemplo elaborado de un número normal. David Champernowne lo obtuvo en $1\,933$ cuando todavía era estudiante en la universidad de Cambridge. El $1\,937$, el matemático alemán kurt Mahler demostró que la constante de Champernowne es trascendente. En la actualidad, sabemos que la constante binaria de Champernowne (obtenida de la concatenación de las representaciones binarias de los números naturales), es normal en base $2$.

Hans von Baeyer indica que mediante la traducción de los $0$ y los $1$ al código Morse, "todas y cada una de las secuencias finitas de palabras que se puedan imagina, están ocultas en la tediosa jerigonza encadenada, [$\dots$] todas las cartas de amor y todas las novelas que jamás se hayan escrito [$\dots$] Se tendría que viajar a través de miles de millones luz para poder encontrarlas, pero se encuentran ahí, en algún sitio [$\dots$]".

Es como si el número de Champernowne fuera el código de todos los libros de la Biblioteca de babel de Jorge Luis Borges.

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