Demostración de la Fórmula General

1. En la expresión canónica $ax^2+bx+c=0$, se divide por $a$ para obtener una expresión mónica:

$$\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac ca=0\Longrightarrow x^2+\frac{bx}{a}+\frac ca=0$$

   2. Luego se traspone el término independiente

$$x^2+\frac{bx}{a}=-\frac ca$$

   3. Se completa el cuadrado tomando $\displaystyle\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}$. Se factoriza el miembro izquierdo y se suman las fracciones en el miembro derecho

$$x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac ca+\frac{b^2}{4a^2}$$

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

   4. Finalmente, se despeja $x$

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$

$$x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Aquí puedes ver un vídeo sobre la demostración

Aquí una demostración alternativa de la Fórmula General