Las Disquisitiones arithmeticae de Gauss

Según Stephen Hawkins, "cuando Gauss comenzó a trabajar en sus decisivas Disquisitiones arithmeticae, la teoría de números no era más que una mera colección de resultados aislados. En sus Disquisitiones, introdujo la noción de congruencia y al hacerlo, unificó la teoría de números". Gauss publicó este trabajo monumental a los veinticuatro años.

Las Disquisitiones incluyen la aritmética modular, basada en las relaciones de congruencia. Dos números enteros $p$ y $q$ son congruentes módulo $s$ si y solo si $(p-q)$ es divisible por $s$. Tal congruencia se expresa formalmente como $$p\equiv q\,(\mathop{\rm mod}\nolimits\,s)$$

Con esta notación compacta, Gauss volvió a enunciar el famoso teorema de la reciprocidad cuadrática y lo demostró en forma completa. este teorema había sido demostrado en forma incompleta, muchos años antes, por Adrien-Marie Legendre ($1\,752-1\,833$). Consideremos dos números impares distintos $p$ y $q$. Consideremos las siguientes afirmaciones:

1. $p$ es congruente con un cuadrado módulo $q$,
2. $q$ es congruente con un cuadrado módulo $p$.

Según el teorema, si tanto $p$ como $q$ son congruentes a $3$ módulo $4$ entonces una, y solo una de las afirmaciones es verdadera; en cualquier otro caso, o ambas son verdaderas, o ambas falsas. (Llamamos cuadrático a aquel número entero que puede escribirse como el cuadrado de otro número entero, por ejemplo $25$, que es $5^2$.)

Por tanto, el teorema tiene que ver con la posibilidad de resolver, en aritmética modular, dos ecuaciones cuadráticas relacionadas. Gauss dedicó toda una sección de su libro a la demostración de este teorema. Le gustaba tanto este resultado que se refería a él como el teorema áureo o como la joya de la aritmética: su pasión por él lo llevó a demostrarlo de ocho formas distintas a lo largo de su vida.

El matemático Leopold Kronecker dijo que "es asombroso pensar que un hombre tan joven capaz de presentar un tratamiento tan profundo y bien organizado en una disciplina completamente nueva". En Disquisitiones, los teoremas se completan con demostraciones, corolarios y ejemplos: muchos autores posteriores siguieron ese mismo modelo al organizar sus escritos. Es la obra de la que deriva el trabajo de los más importantes matemáticos del siglo XIX en teoría de números.

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