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miércoles, 2 de noviembre de 2016

Demostración de la Fórmula General


1. En la expresión canónica $ax^2+bx+c=0$, se divide por $a$ para obtener una expresión mónica:

$$\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac ca=0\Longrightarrow x^2+\frac{bx}{a}+\frac ca=0$$

   2. Luego se traspone el término independiente

$$x^2+\frac{bx}{a}=-\frac ca$$

   3. Se completa el cuadrado tomando $\displaystyle\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}$. Se factoriza el miembro izquierdo y se suman las fracciones en el miembro derecho

$$x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac ca+\frac{b^2}{4a^2}$$

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

   4. Finalmente, se despeja $x$

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$

$$x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$



lunes, 4 de enero de 2016

El número $2016$ y sus curiosidades



El $2016$ es un número bastante particular. A parte de las características ya conocidas por todos, como que es un número par y compuesto, también tiene otras singularidades:


  • Es abundante, pues la suma de todos sus divisores propios es mayor que $2016$.
  • Es perverso, pues tiene un número par de unos en su representación binaria: $$2016=11111100000_{(2)}$$
  • Es triangular, hexagonal e icositetragonal ($24$ lados), es decir con $2016$ puntos se pueden formar esos polígonos regulares.
  • Es cúbico, ya que se puede representar como la suma de los cubos de siete naturales consecutivos, así $$2016=3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3$$
  • Además se puede representar con potencias de $2$ en esta forma curiosa: $$2016=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5$$
  • También se puede representar de la siguiente forma, utilizando solo los dígitos del año $2$ veces y algunas operaciones $$2^{0-1+6}\cdot({2^{0+6}-1})$$
  • Y por último, también tenemos esta otra: $24$ horas $\times7$ días de la semana $\times 12$ meses, nos dan como resultado $$24\times7\times12=2016$$

¡FELIZ AÑO $2016$!