Teoría de Funciones

1. Introducción

El desarrollo del concepto de función se dio básicamente desde el principio de la historia. Tuvo que esperar a que las diferentes civilizaciones dieran sus aportes para que en la actualidad, desde el siglo XVII se cristalizara su concepto y se expandiera su campo de aplicación a las ciencias. El camino fue largo y complejo; se derivó de muchas mentes de matemáticos que vieron su gran potencial: estudiar y comprender las leyes que rigen nuestro universo cambiante.

El concepto de función es la columna vertebral de las diferentes disciplinas científicas tales como la física, la química y la biología, además de todas sus múltiples ramas; así como de la economía, la informática y las ingenerías.

Hoy, cualquier estudiante de enseñanza media puede llegar a comprender de forma efectiva este concepto, sin embargo, su historia tardó mucho. Durante ésta, se impregnó de múltiples imprecisiones en su definición, de muchas discusiones de matemáticos y de la madurez matemática para desprenderla de la intuición hasta constituirla tal y como se conoce en la actualidad.

Las funciones modelan matemáticamente los fenómenos de la naturaleza relacionando dos cantidades variables, una independiente y la otra dependiente mediante una fórmula. Por ejemplo:

1. La ley de la dilatación del tiempo de Einstein $t(v)=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
2. La ley de la caída de los cuerpos de Galileo $s(t)=\frac12gt^2$.
3. La ley de la gravitación universal de Newton dada por $F(d)=\frac{Gm_1m_2}{d^2}$.

4. Además de las fórmulas que expresan las áreas, perímetros y volúmenes de las figuras geométricas como $V(r)=\frac 43\pi r^3$ (volumen de una esfera) o $A_T(r,h)=2\pi r(r+h)$ (área total de un cilindro recto).

Sin duda el estudio de las funciones da un matiz más cercano de la matemática hacia nuestro entorno siempre cambiante, e ilustra la maravillosa relación que tiene la matemática con la naturaleza y con nuestra humanidad. Así lo decía Galileo Galilei: "La matemática es el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo".

2. Conceptos Básicos

A continuación se expondrán las definiciones de los conceptos básicos sobre el tema de funciones.

Definición 1. Se denomina función a una relación especial definida de un conjunto $A$ en un conjunto B, en la cual todos y cada uno de los elementos x de A se les asigna mediante una regla algebraica uno y solamente un elemento y del conjunto B. La función o aplicación se denota con $f:A\longrightarrow B$.

Definición 2. El conjunto A de la definición anterior se llama Dominio y el conjunto B, Codominio. También se suelen llamar conjunto de partida y conjunto de llegada respectivamente.

Definición 3. Los elementos del dominio se denominan preimágenes y se denotan por la variable x. Los elementos del codominio relacionados con las preimágenes se llaman imágenes y se denotan con $y=f(x)$ (función de x).

Definición 4. El subconjunto I de B de las imágenes se denomina Ámbito o Rango.

Definición 5. Cada pareja $(x,f(x))$ se denomina par ordenado, donde x es la abscisa y $y=f(x)$ la ordenada. El conjunto de todos los pares ordenados de una función, que se escribe $G_f=\{(x,y)\mid x\in A\wedge y=f(x)\in B\}$, se denomina gráfico de la función.

Definición 6. La regla o fórmula algebraica que relaciona la variable independiente $x\in A$ con la variable dependiente $y\in B$ se denomina criterio de la función.