Demostración de límite en dos variables

En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers: http://goo.gl/lfmMr

PROBLEMA: Mostrar que $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{2x^3-y^3}{x^2+y^2}=0$$ SOLUCIÓN: Demostrar este límite significa mostrar que: $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{2x^3-y^3}{x^2+y^2}=0\Longleftrightarrow\forall\varepsilon>0$$ $$\exists\delta>0:||(x,y)-(0,0)||<\delta\Longrightarrow |f(x,y)-0|<\varepsilon.$$ Es decir, que: $$\forall\varepsilon>0, \exists\delta>0:\sqrt{x^2+y^2}<\delta\Longrightarrow\left\lvert\frac{2x^3-y^3}{x^2+y^2}\right\rvert <\varepsilon\,\,(*)$$ Por un lado si $$\sqrt{x^2+y^2}<\delta\longrightarrow |x|<\delta\wedge|y|<\delta.$$ Supongamos que $\delta\leq 1$, entonces se tiene que: $$|x|<\delta\leq 1\Longrightarrow -1<x<1\Longrightarrow -1<x^3<1\Longrightarrow -2<2x^3<2$$ Por otro lado, tenemos que: $$|y|<\delta\leq 1\Longrightarrow -1<y<1\Longrightarrow -1<y^3<1\Longrightarrow 1<-y^3<-1$$ Ahora, sumando ambas desigualdades, resulta que $$-1<2x^3-y^3<1\Longrightarrow |2x^3-y^3|< 1\Longrightarrow \frac{|2x^3-y^3|}{x^2+y^2}<\frac{1}{x^2+y^2}$$ pues $$x^2+y^2>0, \forall(x,y)\in I\!R^2$$ También se tiene que $$\sqrt{x^2+y^2}<\delta\Longrightarrow x^2+y^2<\delta^2\Longrightarrow\frac{1}{\delta^2}<\frac{1}{x^2+y^2}$$ Entonces, para $\delta\leq 1$ se puede afirmar que $$\left|\frac{2x^3-y^3}{x^2+y^2}\right|=\frac{|2x^3-y^3|}{x^2+y^2}<\frac{1}{\delta^2}<\frac{1}{x^2+y^2}$$ $$\Longrightarrow\frac{|2x^3-y^3|}{x^2+y^2}<\frac{1}{\delta^2}=\varepsilon\Longrightarrow\delta=\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}}.$$ Por tanto, basta con escoger $$\delta\leq\min\left\{1,\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}}\right\}$$ para que $(*)$ se cumpla.