Ejercicio de vectores en IR3

En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers http://goo.gl/tSZ06


PROBLEMA:Considere los puntos $P(-1,3,2) \,\,y\,\,Q(3,2,4)$. Calcule las coordenadas del punto A sobre el segmento $PQ$, tal que $||\overline{PA}||= \frac34||\overline{PQ}||$ 

SOLUCIÓN: Sabemos que $\overline {PQ}=Q-P=(3,2,4)-(-1,3,2)=(4,-1,2)$, y su norma es $||\overline{PQ}||=\sqrt{4^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}.$ 

Sea $(x,y,z)$ el vector de coordenadas de $A$, entonces $$\overline {PA}=A-P=(x+1,y-3,z+4)$$ por lo que los vectores $\overline {PA}\,\, y \,\,\overline {PQ}$ deben ser paralelos. Esto significa que $(x--1,y-3,z-2)=k\cdot(4,-1,2) (*)$ para algún $k\in R$. Por lo que $$||\overline{PA}||=\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2+(z-4)^2}=||k\cdot \overline{PQ}||=|k|\cdot||\overline{PQ}||$$ Pero sabemos por hipótesis que $||\overline{PA}||= \frac34||\overline{PQ}||$, entonces $k=\frac34$.

Entonces en $(*)$ sustituimos el valor de $k$ y tenemos que: $$(x+1,y-3,z-2) =\frac34\cdot(4,-1,2) \Longrightarrow (x+1,y-3,z-2) =\left(3,-\frac34,\frac32\right)$$ $$x+1=3\Longrightarrow x=2$$ $$y-3=-\frac34\Longrightarrow y=\frac94$$ $$z-2=\frac32\Longrightarrow z=\frac72$$ Por lo tanto, las coordenadas del punto $A$ son $\left(2, \frac94, \frac72\right)$ para que $$\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2+(z-4)^2}=\frac34\sqrt{21}.$$