Razón en la que un punto divide un segmento dado.

En respuesta a la pregunta de Yahoo Respuestas: http://goo.gl/kB9GF

Se resolverá el siguiente problema mediante vectores, pues podemos considerar un punto cualquiera en el plano (o en el espacio) como un segmento dirigido desde el origen del sistema de coordenadas. Por lo que el tratamiento es vectorial y tiene sus bases sobre la disciplina llamada Álgebra Lineal. Por otro lado, se utiliza el concepto de norma o distancia entre dos puntos del plano (o del espacio), y equivale al concepto de distancia entre dos puntos en la Geometría Analítica elemental.

PROBLEMA: Encontrar en qué razón divide el punto $(3,-3)$ al segmento que une $(-3,1)\,\, y \,\,(6,-5).$

SOLUCIÓN: Sean $A(3,-3), B(6,-5)\,\,y\,\,P(3,-3)$. Entonces, se tiene que $\overline{AB}=B-A=(6,-5)-(-3,1)=(9,-6)$ además, la norma (o distancia entre ambos puntos) es $||\overline{AB}||=\sqrt{9^2+(-6)^2}=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}$ Por otro lado, ya que $A-P-B$ (es decir, son colineales), consideramos el segmento $ \overline{AP}$, donde $$\overline{AP}=P-A=(3,-3)-(-3,1)=(6,-4)$$ cuya distancia es $||\overline{AP}||=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ Por tanto, la razón a la que divide el punto $P$ el segmento $\overline{AB}$ viene dado por: $$\frac{||\overline{AP}||}{||\overline{AB}||}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{117}}=\frac{2\sqrt{1521}}{117}=\frac{2\sqrt{3^2\cdot 13^2}}{117}=\frac{2\cdot 3\cdot 13}{117}=\frac23.$$