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domingo, 9 de marzo de 2014

Geometrías no euclídeas. Los Modelos del Universo

La Geometría, en su significado primitivo, se dedicaba solo al estudio de la medición de la Tierra como extensión física de la habitación del hombre, de su escala palpable con los sentidos. Más tarde, y gracias al magnífico compendio de la Matemática vigente en la época helénica de Euclides, Elementos, esa definición tuvo que extenderse mas allá de la intuición, para vivir en la abstracción humana.

Luego de la propagación de los escritos griegos en los siglos XVIII y XIX, y principalmente de esta obra de Euclides, muchos matemáticos comenzaron a hacer críticas en las bases mismas de la geometría euclídea, llevando a varios autores a proponer formas alternativas de introducir la geometría. Se centraron en el oscuro V postulado de Euclides o Postulado de las Paralelas, pues para muchos se asemejaba más a un teorema demostrable que a una proposición básica. Esos eminentes geómetras entre muchos otros fueron Gauss, Boylai y Lobachevski (independientemente uno del otro), quienes opinaban que no debía formar parte de la lista de postulados, y comenzaron a probar su demostración. Esa idea se apoyaba en la redacción misma del postulado y en que Euclides no emplea ese postulado hasta la más adentro de su texto. Básicamente, lo que quisieron demostrar era que si el postulado V puede deducirse de los otros, negándolo y manteniendo el resto, debe llegarse a contradicciones.

Ahora se sabe que la demostración del Postulado de las Paralelas no es posible, y no puede ser deducido de los otros cuatro, es decir, el Postulado V es independiente, y aun más, puede prescindirse de el. Entonces trataron de negarlo, para llegar a alguna contradicción. Playfair postuló una proposición equivalente: "Dada una línea recta y un punto fuera de ella, se puede trazar una sola línea recta paralela a la recta dada", que negándola se llega a dos posibilidades: que por ese punto pasan infinitas rectas o no pasa ninguna recta paralela a la original.

Gauss intuyó la posibilidad de negarlo y sugerir lo primero, que por el punto pasaran  infinitas rectas paralelas, sin embargo no fue hasta que Boylai y Lobachevski lo estudiaran a profundidad y sustituyeron esta opción por el quinto postulado conservando los otros para ver si llegaban a una contradicción, no obstante nunca la encontraron, por lo que abrió paso a una nueva posibilidad de geometría no plana, un conjunto de teoremas coherentes y compatibles entre si. Aun más, si se sustituye el postulado V por la tercera posibilidad: "no puede trazarse ninguna recta paralela", puede obtenerse otro conjunto de teoremas perfectamente válidos y distintos de las otras dos, es decir, una nueva geometría, llamada Geometría de Riemann. Las tres geometrías son racionalmente correctas, formalmente verdaderas, pero solo la euclidea corresponde a la realidad del espacio a escala humana.

Así se originaron dos nuevas geometrías completas, totalmente independientes y distintas, una tricotomía de geometrías que se aplican a diferentes campos de estudio, aunque solo la Geometría Euclidea es posible "materializarla" con los sentidos, es intuitiva. Así, un teorema euclideo es un binomio entre lo racional y lo real: es un teorema deducido y racionalmente correcto, pero ademas se refiere a una inmediata propiedad del espacio, es realmente verdadero a los sentidos, a la experiencia sensible.
Curvatura de los planos

Durante el siglo XIX se trató de rigorizar la Matemática y se llegó a axiomatizar la Geometría en sus tres vertientes para definirlas de manera mas formal mediante el concepto de curvatura. Así la Geometría euclidea o plana se considera con "curvatura cero", la Geometría de Boylai y Lobachevski de "curvatura negativa" y la Geometría de Riemann (cuyos postulados fueron utilizados por Einstein para la formulación de la Teoría Relativista como modelo del espacio) se considera de "curvatura positiva". Otra caracterización de estas geometrías es Geometría  Euclidea o plana, Geometría de Boylai-Lobachevski o hiperbólica y Geometría de Riemann o elíptica. Estos formalismos obligaron a una redefinición de toda la Geometría y a desligarla de la intuición para llevarla a la abstracción, hasta llegar a decirse que la geometría hiperbólica es la que modela el microcosmos de las partículas subatómicas, la plana modela el cosmos a escala humana y la elíptica modela el macrocosmos, el universo inconmensurable.

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