Los Cuatro Cuatros

En el capítulo 7 de la magnífica obra de Malba Tahan, El hombre que calculaba, se encuentra una interesante curiosidad aritmética. El calculista Beremiz y su ayudante se encuentran de paseo por las calles de los mercaderes en Bagdad. Mientras escuchan los pregones de los vendedores, al calculista le llama la atención un turbante azul de una de las tiendas pero más aún, el nombre de la misma: Los cuatro cuatros. Beremiz le explica a su compañero que el título recuerda una maravilla del cálculo: que cualquier número se puede escribir con la ayuda cuatro cuatros. Beremiz procede a escribir en la arena los siguientes cálculos:

$$1=\frac{44}{44}$$

$$2=\frac{4}{4}+\frac{4}{4}$$

$$3=\frac{4+4+4}{4}$$

$$4=4+\frac{4-4}{4}$$

$$5=\frac{4\cdot 4+4}{4}$$

$$6=\frac{4+4}{4}+4$$

$$7=\frac{44}{4}-4$$

$$8=4\cdot4-(4+4)$$

$$9=4+4-\frac{4}{4}$$

$$10=\frac{44-4}{4}$$

En ese momento, el sirio dueño de la tienda le escucha interesado, resalta las habilidades matemáticas de Beremiz y le pide resolver un problema que no ha solucionado desde hace tiempo, y que trata de un pago de cincuenta dinares. A cambio el comerciante le obsequiaría el turbante azul...

Lo interesante aquí, es que al principio el calculista le dice a su amigo que prácticamente cualquier número natural puede escribirse con solo cuatro cuatros y las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación, división), así como la potenciación, la radicación, la logaritmación y el factorial, además de los signos de agrupación. También es válida la concatenación, es decir colocar dos cuatros unidos $(44)$, también el decimal finito $,4$ o decimales periódicos $,4...$ (en ambos casos se habría utilizado solo un cuatro).

A continuación, se presentan todos los números naturales del $0$ al $100$ (aparte de los expuestos anteriormente).

$$0 = 4 - 4 + 4 - 4 = 44-44$$
$$11 = \frac{44}{\sqrt{4}\sqrt{4}}$$
$$12 = {\sqrt{4} + \sqrt{4} + \sqrt{4}}\cdot\sqrt{4}$$
$$13 = \frac{44}{4} + \sqrt{4}$$
$$14 = 4\cdot4 - \frac{4}{\sqrt{4}}$$
$$15 = \frac{44}{4} + 4$$
$$16 = \sqrt{4}\cdot\sqrt{4}\cdot\sqrt{4}\cdot\sqrt{4}$$
$$17 = 4^{\sqrt{4}} + \frac44 = 4\cdot4+\frac44$$
$$18 = 4^{\frac{4}{\sqrt{4}}}+\sqrt{4} = \frac{44}{\sqrt{4}-4}$$
$$19 = 4! - 4 - \frac44$$
$$20 = \frac44+4\cdot4$$
$$21 = 4! - \frac44 - \sqrt{4}$$
$$22 = 4\cdot4 + 4 + \sqrt{4}$$
$$23 = 4! - \sqrt{4}\cdot\frac{\sqrt{4}}{4}$$
$$24 = 4! + 4 - \sqrt{4} - \sqrt{4}$$
$$25 = 4! + \sqrt{4}\cdot\frac{\sqrt{4}}{4}$$
$$26 = 4! + \sqrt{4}\cdot\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$$
$$27 = 4! + \frac44 + \sqrt{4}$$
$$28 = 4! + 4\cdot\frac44$$
$$29 = 4! + 4 + \frac44$$
$$30 = \frac{\left(4+\frac44\right)!}{4}$$
$$31 = \frac{4! + 4}{4} + 4!$$
$$32 = 4^{\sqrt{4}}+4^{\sqrt{4}}$$
$$33 = \frac{44}{\sqrt{.4…}\cdot\sqrt{4}}$$
$$34 = 4\cdot4\cdot\sqrt{4} + \sqrt{4}$$
$$35 = 4! + \frac{44}{4}$$
$$36 = \frac{4!\cdot4!}{4\cdot4}$$
$$37 = \frac{4! + \sqrt{4}}{\sqrt{.4…}} - \sqrt{4}$$
$$38 = 44 - (4 + \sqrt{4})$$
$$39 = \frac{4! + 4 - \sqrt{4}}{\sqrt{.4…}}$$
$$40 = 4! + 4! - 4 - 4$$
$$41 = \frac{4! + \sqrt{4}}{\sqrt{,4…}} + \sqrt{4}$$
$$42 = 44 - \frac{4}{\sqrt{4}}$$
$$43 = 44 - \frac44$$
$$44 = 44 + 4 -4$$
$$45 = 44+\frac44=\frac{(4+\sqrt{4})!}{ 4\cdot4}$$
$$46 = (4!\cdot4 - 4)/\sqrt{4}$$
$$47 = (4!\cdot4 -\sqrt{4})/\sqrt{4}$$
$$48 = 4!\cdot\sqrt{4} + 4 - 4$$
$$49 = 4! \cdot \sqrt{4} + \frac44$$
$$50 = 4!\cdot\sqrt{4} + 4 - \sqrt{4}$$
$$51 = \frac{4!}{,4…} -\sqrt{4}{,4...}$$
$$52 = 4!\cdot\sqrt{4} + \sqrt{4} + \sqrt{4}$$
$$53 = \frac{4!}{,4…} - \frac44$$
$$54 = \frac{4!}{,4…} + 4 - 4$$
$$55 = \frac{4!}{,4…} + \frac44$$
$$56 = 4! \cdot \sqrt{4} + 4 + 4$$
$$57 = \frac{4!}{,4…} + \sqrt{4}{,4…}$$
$$58 = \frac{4!}{,4} - \frac{4}{\sqrt{4}}$$
$$59 = \frac{4!}{,4…} + \frac{\sqrt{4}}{,4}$$
$$60 = \frac{4!}{,4…} + \frac{4}{\sqrt{,4…}}$$
$$61 = \frac{4!}{,4} + \frac44$$
$$62 = \frac{4!}{,4…} + 4 + 4$$
$$63 = \frac{4^4-4}{4}$$
$$64 = 4! \cdot \sqrt{4} + 4 \cdot 4$$
$$65 = \frac{4!}{,4} + \frac{\sqrt{4}}{,4}$$
$$66 = \frac{4!}{,4…} + \frac{4!}{\sqrt{4}}$$
$$67 = \frac{4! + 4}{,4…}+ 4$$
$$68 = \frac{4!}{,4} + 4 + 4$$
$$69 = \frac{4!}{,4} + \frac{4}{,4…}$$
$$70 = \frac{4!}{,4…} + 4\cdot4$$
$$71 = \frac{4!+4,4}{,4}$$
$$72 = \frac{4!\cdot4!}{\sqrt{4}\cdot4}$$
$$73 = \frac{4! + 4! + \sqrt{,4…}}{\sqrt{,4…}}$$
$$74 = 4!+4!+4!+\sqrt{4}$$
$$75 = \frac{\frac{4!+4!}{4}}{,4}$$
$$76 = 4!+4!+4!+4$$
$$77 = \left(\frac{4}{,4…}\right)^{\sqrt{4}}-4$$
$$78 = (4!-4)\cdot4-\sqrt{4}$$
$$79 = \left(\frac{4}{,4…}\right)^{\sqrt{4}}-\sqrt{4}$$
$$80 = \frac{4^{\sqrt{4}}}{,4}\cdot\sqrt{4}$$
$$81 = \left(4-\frac44\right)^4$$
$$82 = (4!-4)\cdot4+ \sqrt{4}$$
$$83 = \left(\frac{4}{,4…}\right)^{\sqrt{4}}+\sqrt{4}$$
$$84 = 44\cdot\sqrt{4}-4$$
$$85=\left(\frac{4}{,4…}\right)^{\sqrt{4}}+4$$
$$86 =\frac{44}{,4-4!}$$
$$87 = 4! \cdot 4 - \frac{4}{,4…} = \frac{4! + 4}{,4…} + 4!$$
$$88 = \frac{4^4}{4} + 4!$$
$$89 = \frac{\sqrt{4}+4!}{,4}+4!$$
$$90 = \frac{(4 + \sqrt{4})!}{4\cdot\sqrt{4}}$$
$$91 = 4!\cdot 4 - \frac{\sqrt{4}}{,4}$$
$$92 = 44 + 4! + 4!$$
$$93 = 4! \cdot4-\sqrt{\frac{4}{,4…}}$$
$$94 = 4!\cdot4 - 4 + \sqrt{4}$$
$$95 = 4\cdot4!- \frac44$$
$$96 = 4 \cdot 4! + 4 - 4$$
$$97 = 4 \cdot 4! + \frac44$$
$$98 = 4! \cdot 4 + 4 - \sqrt{4}$$
$$99 = (4! - \sqrt{4}) \cdot \frac{\sqrt{4}}{,4…}$$
$$100 = 4! \cdot 4 + \sqrt{4} \cdot \sqrt{4}$$

Como puede verse, en algunos casos hay más de una manera de obtener un mismo número natural. ¿Podría obtenerse cualquier número natural con ayuda de cuatro cuatros y las operaciones? Pues sí, aquí hay una fórmula descubierta por Blanton Culver en 1954.

Esta fórmula fue modificada pues incluía un $2$. Todo esto lo cuenta el mítico Jaime Poniachik en la sección Trotajuegos de la revista Juegos para la Mente en los años 80 y se puede ver en la siguiente imagen.

Les dejo también esta otra curiosidad: El número de oro expresado con cuatro cuatros.

$$\Phi=\frac{\sqrt4+\sqrt{4!-4}}{4}$$

Para terminar, aquí un reloj de pared solo para geeks: