Oro imaginario

Hace unos meses alguien publicó la siguiente fórmula que relaciona al número $\phi$ y la unidad imaginaria $i$ de una forma muy elegante.


$$2\sin(i\log\phi)=i$$


Aquí está la prueba. Por la fórmula de de Moivre:


$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$


Luego tomando $z=i\log\phi$ y sabiendo que $i\cdot i=i^2=-1$ se tiene


$$\begin{align} 2\sin(i\log\phi) & = \frac{e^{-\log\phi}-e^{\log\phi}}{i}\\ & = -i\left(\frac{1}{\phi}-\phi\right) \\ &= i \end{align}$$