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jueves, 18 de septiembre de 2014

Oro imaginario

Hace unos meses alguien publicó la siguiente fórmula que relaciona al número $\phi$ y la unidad imaginaria $i$ de una forma muy elegante.

$$2\sin(i\log\phi)=i$$

Aquí está la prueba. Por la fórmula de de Moivre:

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

Luego tomando $z=i\log\phi$ y sabiendo que $i\cdot i=i^2=-1$ se tiene

$$2\sin(i\log\phi)=\frac{e^{-\log\phi}-e^{\log\phi}}{i}$$

$$=-i\left(\frac{1}{\phi}-\phi\right)$$

$$=i$$

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