Discusiones en torno al Trabajo y la Energía

(Actividad: Foro evaluable para el curso de Física General para la carrera de Enseñanza de la Matemática, PAC II-2015)

1. ¿Por qué se puede afirmar que una persona cargando tres libros de texto mientras se desplaza horizontalmente no realiza trabajo sobre los libros?

Al cargar cualquier masa mientras se desplaza de forma horizontal no se realiza ningún trabajo puesto que la fuerza que se efectúa sobre los tres libros de texto para sostenerlos (hacia arriba), es perpendicular a la superficie por la cual se desplaza quien los sostiene, y para realizarse trabajo la fuerza involucrada debe ser paralela al desplazamiento. 

Matemáticamente, si $M_1$, $M_2$ y $M_3$ son las masas de los tres libros se tiene que los pesos de ellas serán 

$$F_{G1}=M_1\cdot g$$

$$F_{G2}=M_2\cdot g$$

$$F_{G3}=M_3\cdot g$$

Luego $$\sum F_y=F_N-M_1\cdot g-M_2\cdot g-M_3\cdot g$$

$$F_N-(M_1+M_2+M_3)\cdot g=0$$

$$F_N=(M_1+M_2+M_3)\cdot g$$

Donde $F_N$ es la fuerza ejercida por las manos sobre los libros mientras se sostienen cargados de manera estática. Entonces, los vectores de la fuerza ejercida y el desplazamiento horizontal $d_x$ cumplen que $\vec{F_N}\cdot \vec{d_x}=0$, (es decir $F_N\perp d_x$).

Entonces

$$W=F\cdot d\,\cos\theta,$$  

$$W=F_N\cdot d_x\,\cos(90^o)\Longrightarrow W=F_N\cdot d_x\cdot 0\Longrightarrow W=0$$

Con lo que se concluye que no se efectúa trabajo alguno. (Unidad didáctica, págs. $164-165$)

2. Tomando en cuenta que el trabajo se obtiene de un producto escalar de dos vectores, ¿Es el trabajo un vector o un escalar? ¿Por qué?

Precisamente, el producto escalar o producto punto entre dos vectores es una cantidad escalar.

Sean dos vectores en el espacio $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$, entonces se define el producto $u\cdot v$ como la suma del producto de sus componentes:

$$\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,u_2,u_3)\cdot(v_1,v_2,v_3)=\sum u_i\cdot v_i=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3$$

Así, en el cálculo de $W$ se tiene el producto punto entre los vectores paralelos $\vec{F}$ y $\vec{d}$, que es un escalar (Unidad didáctica, pág. $167$).


3. ¿Si dos cuerpos de masas $m$ y $2m$ se desplazan con la misma energía cinética, tendrán la misma velocidad? ¿Por qué?

Sabiendo que la Energía cinética viene dada por $K=\frac12mv^2$ (Unidad didáctica, pág. $172$), los cuerpos de masas $m$ y $2m$ tendrán energías cinéticas respectivas de

$$K_1=\frac12mv^2 \mbox{ y }K_2=\frac12\cdot(2m)v^2=mv^2$$

Si ambas se desplazan con la misma Energía Cinética, se tiene que

$$K_1=K_2\Longrightarrow\frac12mv^2=mv^2$$

Como ambas masas son no nulas, resulta $\frac12v^2=v^2$, que solo puede darse sí y solo sí $v=0$, es decir, que ambos cuerpos se encuentren en reposo (tienen velocidades iguales).