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sábado, 23 de octubre de 2010

Demostración de límite en dos variables

En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers:

http://goo.gl/lfmMr

PROBLEMA: Mostrar que $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{2x^3-y^3}{x^2+y^2}=0$$ SOLUCIÓN: Demostrar este límite significa mostrar que: $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{2x^3-y^3}{x^2+y^2}=0\Longleftrightarrow\forall\varepsilon>0$$ $$\exists\delta>0:||(x,y)-(0,0)||<\delta\Longrightarrow |f(x,y)-0|<\varepsilon.$$ Es decir, que: $$\forall\varepsilon>0, \exists\delta>0:\sqrt{x^2+y^2}<\delta\Longrightarrow|\frac{2x^3-y^3}{x^2+y^2}|<\varepsilon\,\,(*)$$ Por un lado si $$\sqrt{x^2+y^2}<\delta\longrightarrow |x|<\delta\wedge|y|<\delta.$$ Supongamos que $\delta\leq 1$, entonces se tiene que: $$|x|<\delta\leq 1\Longrightarrow -1<x<1\Longrightarrow -1<x^3<1\Longrightarrow -2<2x^3<2$$ Por otro lado, tenemos que: $$|y|<\delta\leq 1\Longrightarrow -1<y<1\Longrightarrow -1<y^3<1\Longrightarrow 1<-y^3<-1$$ Ahora, sumando ambas desigualdades, resulta que $$-1<2x^3-y^3<1\Longrightarrow |2x^3-y^3|< 1\Longrightarrow \frac{|2x^3-y^3|}{x^2+y^2}<\frac{1}{x^2+y^2}$$ pues $$x^2+y^2>0, \forall(x,y)\in I\!R^2$$ También se tiene que $$\sqrt{x^2+y^2}<\delta\Longrightarrow x^2+y^2<\delta^2\Longrightarrow\frac{1}{\delta^2}<\frac{1}{x^2+y^2}$$ Entonces, para $\delta\leq 1$ se puede afirmar que $$\left|\frac{2x^3-y^3}{x^2+y^2}\right|=\frac{|2x^3-y^3|}{x^2+y^2}<\frac{1}{\delta^2}<\frac{1}{x^2+y^2}$$ $$\Longrightarrow\frac{|2x^3-y^3|}{x^2+y^2}<\frac{1}{\delta^2}=\varepsilon\Longrightarrow\delta=\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}}.$$ Por tanto, basta con escoger $$\delta\leq\min\left\{1,\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}}\right\}$$ para que $(*)$ se cumpla.

Razón en la que un punto divide un segmento dado.

En respuesta a la pregunta de Yahoo Respuestas: http://goo.gl/kB9GF

Se resolverá el siguiente problema mediante vectores, pues podemos considerar un punto cualquiera en el plano (o en el espacio) como un segmento dirigido desde el origen del sistema de coordenadas. Por lo que el tratamiento es vectorial y tiene sus bases sobre la disciplina llamada Álgebra Lineal. Por otro lado, se utiliza el concepto de norma o distancia entre dos puntos del plano (o del espacio), y equivale al concepto de distancia entre dos puntos en la Geometría Analítica elemental.

PROBLEMA: Encontrar en qué razón divide el punto $(3,-3)$ al segmento que une $(-3,1)\,\, y \,\,(6,-5).$

SOLUCIÓN: Sean $A(3,-3), B(6,-5)\,\,y\,\,P(3,-3)$. Entonces, se tiene que $\overline{AB}=B-A=(6,-5)-(-3,1)=(9,-6)$ además, la norma (o distancia entre ambos puntos) es $||\overline{AB}||=\sqrt{9^2+(-6)^2}=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}$ Por otro lado, ya que $A-P-B$ (es decir, son colineales), consideramos el segmento $ \overline{AP}$, donde $$\overline{AP}=P-A=(3,-3)-(-3,1)=(6,-4)$$ cuya distancia es $||\overline{AP}||=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ Por tanto, la razón a la que divide el punto $P$ el segmento $\overline{AB}$ viene dado por: $$\frac{||\overline{AP}||}{||\overline{AB}||}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{117}}=\frac{2\sqrt{1521}}{117}=\frac{2\sqrt{3^2\cdot 13^2}}{117}=\frac{2\cdot 3\cdot 13}{117}=\frac23.$$

jueves, 21 de octubre de 2010

Ejercicio de vectores en IR3

En respuesta a la pregunta de Yahoo Answers http://goo.gl/tSZ06


PROBLEMA:Considere los puntos $P(-1,3,2) \,\,y\,\,Q(3,2,4)$. Calcule las coordenadas del punto A sobre el segmento $PQ$, tal que $||\overline{PA}||= \frac34||\overline{PQ}||$ 

SOLUCIÓN: Sabemos que $\overline {PQ}=Q-P=(3,2,4)-(-1,3,2)=(4,-1,2)$, y su norma es $||\overline{PQ}||=\sqrt{4^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}.$ 

Sea $(x,y,z)$ el vector de coordenadas de $A$, entonces $$\overline {PA}=A-P=(x+1,y-3,z+4)$$ por lo que los vectores $\overline {PA}\,\, y \,\,\overline {PQ}$ deben ser paralelos. Esto significa que $(x--1,y-3,z-2)=k\cdot(4,-1,2) (*)$ para algún $k\in R$. Por lo que $$||\overline{PA}||=\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2+(z-4)^2}=||k\cdot \overline{PQ}||=|k|\cdot||\overline{PQ}||$$ Pero sabemos por hipótesis que $||\overline{PA}||= \frac34||\overline{PQ}||$, entonces $k=\frac34$.

Entonces en $(*)$ sustituimos el valor de $k$ y tenemos que: $$(x+1,y-3,z-2) =\frac34\cdot(4,-1,2) \Longrightarrow (x+1,y-3,z-2) =\left(3,-\frac34,\frac32\right)$$ $$x+1=3\Longrightarrow x=2$$ $$y-3=-\frac34\Longrightarrow y=\frac94$$ $$z-2=\frac32\Longrightarrow z=\frac72$$ Por lo tanto, las coordenadas del punto $A$ son $\left(2, \frac94, \frac72\right)$ para que $$\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2+(z-4)^2}=\frac34\sqrt{21}.$$

viernes, 15 de octubre de 2010

¿Qué son las matemáticas? (Parte II)


“Sin matemáticas no se penetra hasta el fondo de la filosofía; sin filosofía no se llega al fondo de la matemáticas; sin las dos no se llega al fondo de nada”. Bordas-Desmoulin.

Pese a que la matemática fue la columna vertebral de la filosofía griega cuando formaba tres de las partes principales del llamado cuadrivium filosófico en aquel tiempo (geometría, aritmética astronomía y música), y que el conocimiento helénico, alejandrino, medieval y renacentista, se centró en el estudio de estas disciplinas como filosóficas, ahora la matemática como primogénita, ha dejado de su madre y ha hecho vida aparte cuando ella misma ha llegado a ser madre de otras disciplinas. Heredó de su madre, eso sí, las características que la hacen distintiva de las ciencias, como se vio antes. Estos aspectos le dieron forma y carácter de “ciencia”, como fuente de adquisición de conocimiento, pero meramente exacta y deductiva, pues su método axiomático fue engendrado por la lógica aristotélica, el formalismo platónico y la deducción euclidiana. Y aunque la matemática se la toma como parte de las ciencias formales junto con la filosofía, se diferencia de ésta por su carácter puro y pragmático que, originado en la abstracción de la mente humana se ha decantado en toda suerte de aplicaciones en la realidad de los fenómenos físicos, no quedándose en el formalismo e irracionalidad del mundo de las ideas por sí mismas, sino que tomó forma en lo concreto también.

Según la postura de Russell, la filosofía no es ciencia pues no posee objeto propio, sino que estudia todos aquellos problemas inmaturos que no tienen todavía una categoría, es decir, que no pueden ser tratados científicamente. Así, en el momento en que una disciplina filosófica se separa e independiza de ella, se engendra una ciencia o un cuerpo de conocimiento nuevo, como le ocurriera a la lógica formal, a la matemática y a la física (llamada aún en tiempos de Newton como Filosofía Natural). Sin embargo, se dice que la filosofía como madre de todas la ciencias, por cuanto vive y se sustenta en lo supra racional, lo incomprensible, lo que se halla más allá de los límites de la razón; lejos de morir por el desenvolvimiento de otras ciencias, se vigoriza y enriquece más, pues al desprenderse las ciencias de ella, asimismo surgen casi simultáneamente disciplinas filosóficas paralelas, como el caso de la misma matemática que durante su maduración y aritmetización en los siglos XVIII y XIX, ha originado sus propias corrientes filosóficas como el intuicionismo, el racionalismo, el logicismo, el formalismo, el convencionalismo, el absolutismo, el axiomatismo, el idealismo y el platonismo; pero sin ser la matemática sola una disciplina filosófica estricta por sí misma.






LA MATEMÁTICA
NO ES UNA RELIGIÓN


“Los números enteros son obra del buen Dios. Todo lo demás es obra del hombre” Leopold Kronecker.


Como es sabido, en la antigua Grecia la hermandad de los pitagóricos planteaban en su estilo de vida que “todo debe estar regido por los números y las proporciones entre ellos” y que, como lo diría el mismo Pitágoras: “El sabio para representar a Dios escribe la unidad. Todo son números”, también sabemos ahora que la matemática no es una doctrina eminentemente espiritual ni religiosa, pese a que muchos hombres religiosos o no, se reúnen en torno a ella en grupos selectos y cerrados, como cofradías intelectuales, para rendirle culto académico y práctico. Incluso muchos otros se han pronunciado respecto de la matemática en tonos metafísicos, asignándole carácter divino y enunciando sentencias esotéricas, extraordinarias y de exaltación, al sorprenderse de su fría belleza y de sus enigmas insondables.

Empero, la matemática no puede considerarse en ningún sentido como dogmas religiosos (según la postura cartesiana), como una doctrina moral o como un estilo de vida espiritual, aunque muchos sientan en ella una aproximación sublime a la belleza y la amen como a una convicción o fe y la sigan con cierto fanatismo enfermizo, pues no se conoce alguna doctrina en la que se vincule la una con la otra como una sola, desde la secta hermética de Pitágoras o la numerología subyacente de la cábala de los judíos. Si bien es cierto muchos se has referido a la matemática de manera especial, dotándola de divinidad excelsamente en algunas expresiones y frases ahora célebres, constituyen ideologías aisladas de varios pensadores que así lo quisieron ver, como se enuncian en los siguientes aforismos:

  • “Dios se regocija en los números impares”, Virgilio.
  • “Dios siempre hace geometría”, Platón.
  • “Dios siempre aritmetiza”, Carl Gustav Jacobi.
  • “…excelsas, supremas, excelentísimas, incomprensibles, inestimables, innumerables, admirables, inefables, singulares…, que corresponden por semejanza al Dios mismo”, Luca Pacioli, refiriéndose a las cifras decimales del número pi.
  • “El gran Arquitecto del mundo empieza ahora a revelarse como un matemático puro”, James Jeans.
  • “Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía”, Isócrates.
  • “Las series divergentes en su totalidad son invención del diablo”, Niels Abel.
  • “Las matemáticas convierten lo invisible en visible”, Keith Devhin.
  • “Las matemáticas son el lenguaje con que Dios ha escrito el universo”, Galileo Galilei.
  • “Según Dios calcula se va creando el mundo”, Liebniz.
  • “… a saber, puesto que la forma de todo el universo es la más perfecta y, de hecho, está diseñada por el creador más sabio, nada ocurrirá en el mundo sin que salga a relucir, de alguna manera, una regla máxima o mínima”, Leonhard Euler.
  • “(Newton)…quien con vigor mental casi divino, fue el primero en demostrar los movimientos y formas de los planetas, las trayectorias de los cometas y el flujo de las mareas”, Epitafio a Isaac Newton.
  • “Sabemos que la naturaleza se describe con la mejor de todas las posibles matemáticas porque Dios la creó”, Alexander Polyakov.
  • “Parece que uno de los rasgos fundamentales de la naturaleza es que las leyes físicas fundamentales se describen en términos de una teoría matemática de gran belleza y poder, para comprenderla se necesita una norma muy elevada en matemáticas… Uno quizá pudiera describir la situación diciendo que Dios en un matemático de orden muy elevado, y que Él usó matemática muy adelantada al construir el universo”, Paul Dirac.
Por otro lado, el vínculo más importante que se puede encontrar entre temáticas tan disímiles como lo son la matemática y la religión es lo que, evocando lo sucedido durante los periodos de más apogeo en la historia de la matemática, cuando florecían de las mentes brillantes los descubrimientos que la fundamentan se puede comprobar: la motivación primera de esos grandes científicos y matemáticos provino de la admiración a las Escrituras, su fe en Dios y de sus profundas creencias cristianas, como es el caso de Copérnico, Descartes, Galileo, Kepler, Liebniz, Newton, Pascal, entre otros. Pero por otra parte, hubo también episodios lamentables durante esta historia en los que entraron en conflicto la razón incipiente y la religión dominante; como lo fue la injusta acusación y posterior condena de Galileo en 1633 por la inquisición romana, o mucho antes, la muerte trágica de la matemática alejandrina Hipatia, a manos de una secta cristiana en el siglo V d.C. Sin embargo, lejos de ser una religión o un conjunto de dogmas y doctrinas religiosas, puede decirse que la matemática es un lenguaje universal que unifica a las naciones y lenguas en un solo sentir, donde los hombres la admiran y se llenan de ella; doquiera que se la topen los fanáticos, académicos, profesores, estudiantes o aficionados a los números y formas.

lunes, 31 de mayo de 2010

Pi y el Conjunto de Mandelbrot


El pasado 14 de marzo se celebró el día Pi, (pues en nomenclatura de la fecha anglosajona 3/14, se lee así). Más exactamente a las 3 de la tarde (las 15 horas), 9 minutos y 2 segundos... es decir 3,141592...

Encontré esto links en la web pues estoy inscrito en la página de blog Gaussianos, donde constantemete me envían interesantes posts de matemáticas. Pero de los dos, el que más me interesó y maravilló es el segundo de la lista, que relaciona al famosísimo número Pi con el Conjunto de Mandelbrot... Precisamente los dos temas que me apasionan y de los cuales tengo en mi cuerpo tatuajes, el de Mandelbrot en mi espalda y el de Pi en mi brazo derecho. Así que quería compartirlo con ustedes.


Les adjunto, hablando del Conjunto de Mandelbrot, este vídeo en youtube que hice el año pasado, probando unas herramientas de edición de vídeos. Espero les guste.




martes, 18 de mayo de 2010

Teoría de Funciones

1. Introducción

El desarrollo del concepto de función se dio básicamente desde el principio de la historia. Tuvo que esperar a que las diferentes civilizaciones dieran sus aportes para que en la actualidad, desde el siglo XVII se cristalizara su concepto y se expandiera su campo de aplicación a las ciencias. El camino fue largo y complejo; se derivó de muchas mentes de matemáticos que vieron su gran potencial: estudiar y comprender las leyes que rigen nuestro universo cambiante.

El concepto de función es la columna vertebral de las diferentes disciplinas científicas tales como la física, la química y la biología, además de todas sus múltiples ramas; así como de la economía, la informática y las ingenerías.

Hoy, cualquier estudiante de enseñanza media puede llegar a comprender de forma efectiva este concepto, sin embargo, su historia tardó mucho. Durante ésta, se impregnó de múltiples imprecisiones en su definición, de muchas discusiones de matemáticos y de la madurez matemática para desprenderla de la intuición hasta constituirla tal y como se conoce en la actualidad.

Las funciones modelan matemáticamente los fenómenos de la naturaleza relacionando dos cantidades variables, una independiente y la otra dependiente mediante una fórmula. Por ejemplo:
1. La ley de la dilatación del tiempo de Einstein t(v)=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
2. La ley de la caída de los cuerpos de Galileo s(t)=\frac12gt^2.
3. La ley de la gravitación universal de Newton dada por F(d)=\frac{Gm_1m_2}{d^2}.

4. Además de las fórmulas que expresan las áreas, perímetros y volúmenes de las figuras geométricas como V(r)=\frac 43\pi r^3 (volumen de una esfera) o A_T(r,h)=2\pi r(r+h) (área total de un cilindro recto).

Sin duda el estudio de las funciones da un matiz más cercano de la matemática hacia nuestro entorno siempre cambiante, e ilustra la maravillosa relación que tiene la matemática con la naturaleza y con nuestra humanidad. Así lo decía Galileo Galilei: "La matemática es el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo".

2. Conceptos Básicos

A continuación se expondrán las definiciones de los conceptos básicos sobre el tema de funciones.

Definición 1. Se denomina función a una relación especial definida de un conjunto A en un conjunto B, en la cual todos y cada uno de los elementos x de A se les asigna mediante una regla algebraica uno y solamente un elemento y del conjunto B. La función o aplicación se denota con f:A\longrightarrow B.

Definición 2. El conjunto A de la definición anterior se llama Dominio y el conjunto B, Codominio. También se suelen llamar conjunto de partida y conjunto de llegada respectivamente.

Definición 3. Los elementos del dominio se denominan preimágenes y se denotan por la variable x. Los elementos del codominio relacionados con las preimágenes se llaman imágenes y se denotan con y=f(x) (función de x).


Definición 4. El subconjunto I de B de las imágenes se denomina Ámbito o Rango.

Definición 5. Cada pareja (x,f(x)) se denomina par ordenado, donde x es la abscisa y y=f(x) la ordenada. El conjunto de todos los pares ordenados de una función, que se escribe G_f=\{(x,y)\mid x\in A\wedge y=f(x)\in B\}, se denomina gráfico de la función.

Definición 6. La regla o fórmula algebraica que relaciona la variable independiente x\in A con la variable dependiente y\in B se denomina criterio de la función.

jueves, 22 de abril de 2010

¿Qué son las Matemáticas?
(Parte I)





En apariencia, la pregunta es casi trivial para un matemático, un docente de matemáticas o para cualquiera que esté o haya estado en relación directa con las matemáticas, ya que si se ha tenido una visión forjada durante muchos años en esta disciplina, se ha contestado a múltiples interrogantes y se han solucionado centenas de problemas y ejercicios matemáticos, es de prever que se tenga una idea concreta de lo que son las matemáticas. Sin embargo, desde una de esas posiciones anteriormente descritas, no es ventajosa la familiaridad con este campo de estudio, ya que aunque se tenga un mayor criterio y madurez en ideas afines, también se manejan pensamientos preconcebidos y aprendidos, nociones quizá erráticas y dubitativas; y al comenzar a abordar la cuestión, los que están más cerca de las matemáticas, no logran echar mano de las consideraciones filosóficas pertinentes a ellas, y es ahí donde desaparece la aparente futilidad inicial de la pregunta.

Por mi parte, en principio quise responderla de la manera más sencilla, esto es, buscar las acepciones más objetivas en un par de diccionarios y enciclopedias, agregar por aquí y por allá alguna noción ya aprendida en mi familiaridad con la práctica de las matemáticas y así completar algunas cuartillas con todo este bagaje teórico, pero preferí sin embargo, optar por otra alternativa menos trivial.

Luego quise abordar la respuesta de muchas maneras sofisticadas, desde diversas posturas y perspectivas filosóficas que, al fin y al cabo, constituiría todo ello un texto muy trabajoso y barroco de formalismos, y encontré que aquella respuesta terminaría siendo más complicada que la pregunta misma. Así que finalmente, tratando de desligarme de mi posición de docente de matemáticas, de mi relación directa con la materia (ya manipulada por la costumbre) y de mis propias opiniones y dudas, y quizá copiando al célebre Descartes, llegué a cuestionar primero lo que no son las matemáticas, para así atacar el problema desde otros flancos, yendo de lo particular a lo general, y descubrí resultados interesantes que daré a continuación.

Pero primero, evoco una propuesta aparentemente inútil que discutió J.J. Sylvester en torno a la diferenciación que debe hacerse entre los términos matemática y matemáticas (que ya había defendido Descartes), que considero valiosa como preámbulo en este texto. Sylvester postuló en 1869 a la British Association, que el término matemáticas se reservara para las aplicaciones que ésta tenía con las ciencias fácticas, destinando el vocablo en singular para la “ciencia” en sí, de modo más general. Así que, secundando la premisa del matemático, sustituyo en la pregunta original la palabra matemática en lugar de matemáticas, para tomar este campo de conocimiento como uno solo y no es sus ramificaciones. Entonces, y a modo de una pseudo-demostración, utilizaré con cierto rigor los contraejemplos como vía de resolución del problema en cuestión.




LA MATEMÁTICA
NO ES UNA CIENCIA

“Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad”. Albert Einstein.

Aunque muchos definen la matemática como ciencia, e incluso se ha difundido y enseñado en las escuelas y colegios como ciencia exacta y formal, y además, según se sabe en su acepción más aceptada, “etimológicamente” dada al parecer por Pitágoras en la época helénica como “la ciencia por excelencia” o más románticamente algo así como “aquel conocimiento que debe ser aprendido por todos los hombres”, según el griego mathema, que quiere decir conocimiento, entendimiento o percepción; se sabe que esta consideración es esencialmente falsa si no se hace la observación medular necesaria que radica en que no es posible sólo nombrar a la matemática como ciencia (entendiéndose ésta, en sentido estricto, como un método o forma del pensamiento objetivo y de acción), sin hacer la distinción entre las demás ciencias formales, naturales y morales en su metodología, naturaleza y objeto de estudio. Por lo que, a mi parecer, la matemática no es ciencia por los siguientes argumentos:

  • No estudia fenómenos repetibles en un laboratorio, como sí lo hacen las ciencias de hechos o ciencias fácticas, pues los entes matemáticos son tanto abstractos e ideales como interpretados (según Platón y Hermite), y sólo viven en la mente humana cuando se los piensa y evoca. Es decir, los objetos matemáticos no son hechos físicos observables en la realidad material sino ideas y objetos construidos a partir del intelecto humano. Si bien de estos objetos es de donde precisamente recurren las ciencias para verter en ellas alguna aplicación o significado en sus respectivos campos y de donde se sostienen los fácticos o empíricos para plantear y construir sus teorías, partiendo de los procesos formales y lógicos en los que subyace y se sustenta la matemática; no quiere decir que este significado fáctico o empírico que se les asigna sea una propiedad intrínseca de los mismos, pues sólo “entran” en la realidad brindada a través del lenguaje ordinario y científico para los fines de las ciencias naturales. El objeto de la matemática en la realidad y su metodología (aunque se discuta todavía si en principio la matemática extrajo de lo material los modelos que luego se independizaron para llegar a ser ideales, o si tiene la matemática alguna dosis de intuición o experiencia), es un ejercicio de la razón pura y formal.

  • No utiliza el Método Científico, sino como es sabido, el axiomático (deductivo-hipotético). Esta distinción es vital, pues nos asegura el hecho de que en matemática es suficiente y necesaria la deducción lógica para demostrar y probar sus propias leyes, que en su caso específico se denominan teoremas, universalmente válidos y no provisionales, como lo son en su mayoría las verdades científicas. Y aunque éstas se alimenten con la rigurosidad lógica de la matemática y tomen los objetos abstractos para aproximar y modelar la realidad de los fenómenos de su estudio, siguen siendo perfectibles, incompletas y temporarias. Empero el método axiomático como sistema formal (como proponía Russell) es necesario y suficiente para el quehacer y para su propio desarrollo, sin que medie (según Hilbert) la intuición intelectual o sensible. Tal es la diferencia abismal entre la matemática y las ciencias que se argumenta en algunas escuelas de pensamiento que ella es independiente, pues como ya se dijo, el sujeto y objeto de la matemática viven en el seno mismo de ésta, en el conjunto de axiomas, postulados, definiciones, teoremas y corolarios, y no provienen de otro sistema distinto de la matemática misma, aunque sus múltiples disciplinas interrelacionen sus elementos para sustentar más teorías por ende interdisciplinarias. Por tanto, la matemática sería como una ciencia “axiomatizada” porque su objeto: la extensión y el número, permite el empleo de este método, y en la actualidad, en la matemática moderna, el método es quien pasa a primer plano: en lugar de ser determinado por su objeto, es el método quien determina al objeto.

En conclusión, la matemática no es ciencia porque utiliza su propio método único, por lo que sería un error meterla, por así decirlo, en el mismo saco con las demás fuentes de conocimiento: las ciencias fácticas o formales y las morales o sociales, ya que posee una exclusividad totalmente independiente de éstas en carácter y esencia.

“Las leyes de la matemática no son meramente invenciones o creaciones humanas. Simplemente “son”: existen independientemente del intelecto humano. Lo más que puede hacer un hombre de inteligencia aguda es descubrir que estas leyes están allí y llegar a conocerlas”. M.C. Escher.



PARTE II: http://matematiquemos.blogspot.com/2010/10/que-son-las-matematicas-parte-ii.html