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domingo, 28 de septiembre de 2014

La Curva Mariposa

Existen dos curvas mariposa, según las ecuaciones que la originan: trascendente y algebraica


La curva Mariposa Trascendente fue creada por Temple H. Fay en 1989.


Viene dada por las ecuaciones paramétricas:


$$x=\sin t\left(e^{\cos t}-2\cos(4t)-\sin^5\left(\frac{t}{12}\right)\right)$$

$$y=\cos t\left(e^{\cos t}-2\cos(4t)-\sin^5\left(\frac{t}{12}\right)\right)$$

O en su forma Polar

$$r=e^{\sin\theta}-2\cos(4\theta)+\sin^5\left(\frac{2\theta-\pi}{24}\right)$$


La curva Mariposa Algebraica



Viene dada por la ecuación implícita:

$$y^6=x^2-x^6$$

jueves, 18 de septiembre de 2014

Oro imaginario

Hace unos meses alguien publicó la siguiente fórmula que relaciona al número $\phi$ y la unidad imaginaria $i$ de una forma muy elegante.

$$2\sin(i\log\phi)=i$$

Aquí está la prueba. Por la fórmula de de Moivre:

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

Luego tomando $z=i\log\phi$ y sabiendo que $i\cdot i=i^2=-1$ se tiene

$$2\sin(i\log\phi)=\frac{e^{-\log\phi}-e^{\log\phi}}{i}$$

$$=-i\left(\frac{1}{\phi}-\phi\right)$$

$$=i$$

viernes, 12 de septiembre de 2014

La Lemniscata de Bernoulli






La lemniscata, también conocida como Lemniscata de  Bernoulli, es una curva polar cuya más común forma es el lugar geométrico lugar geométrico de los puntos tales que la suma $2a$ de las distancias desde dos puntos fijos llamados focos es la constante $a^2$. O también, es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de sus distancias es una constante. 

La lemniscata puede ser obtenida como la transformada inversa de una hipérbola, con el círculo inversor centrado en el centro de la hipérbola (punto medio del segmento que une los dos focos).



La ecuación cartesiana de la lemniscata es:

$$\left[(x-c)^2+y^2\right] \left[(x+c)^2+y^2\right]=c^4\,\,\,(1)$$

donde ambos miembros de la ecuación han sido elevados al cuadrado. Desarrollando y simplificando se obtiene:

$$(x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)\,\,\,(2)$$

Jakob Bernoulli publicó un artículo en Acta Eruditorum en $1\,694$, donde llamó a esta curva lemniscus (cinta colgante en Latin). Bernoulli no se percató que la curva que describía era un caso especial de los óvalos de Cassini, que fueron definidos por Cassini en $1\,680$. Las propiedades generales de la lemniscata fueron descubiertas por G. Fagnano en $1\,750$. Las investigaciones de Gauss y Euler de la longitud del arco de la curva llevó a trabajar más tarde en las funciones elípticas.

La forma más general de la lemniscata es una sección tórica de un toro

$$\left(c-\sqrt{x^2+y^2}\right)^2+z^2=a^2 \,\,\,(3)$$

cortado por el plano $y=c-a$. Reordenando los términos se obtiene la ecuación

$$(x^2+z^2)^2=4c\left[ ax^2+(a-c)z^2 \right] \,\,\,(4)$$

En el caso especial $a=\frac{c}{2}$ (y reordenando $z$ como $y$), se obtiene

$$(x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2) \,\,\,(5)$$

la cual es la misma forma obtenida en la ecuación $(1)$.

Convirtiendo a coordenadas polares, se obtiene la ecuación

$$r^2=2c^2\cos(2\theta)\,\,\,(7)$$

usualmente escrita en su forma más simple

$$r^2=a^2\cos(2\theta)\,\,\,(8)$$

donde $a$ es una constante (que difiere del radio del toro $a$ por un factor de $\sqrt2$). Note que esta ecuación está definida únicamente para ángulos $-\frac{\pi}{4} < \theta< \frac{\pi}{4}$ y $\frac{3}{4}\pi < \theta< \frac{5}{4}\pi$. Las ecuaciones paramétricas para la lemniscata de ancho $a$ son

$$x=\frac{a\cos t}{1+\sin^2t}\,\,\,(9)$$

$$y=\frac{a\sin t\cdot\cos t}{1+\sin^2t}\,\,\,(10)$$

Además, la ecuación bipolar de la Lemniscata es

$$rr^{\prime}=\frac12a^2\,\,\,(11)$$

El área de la lemniscata es

$$A=2\left(\frac12\int r^2\,d\theta\right)\,\,\,(12)$$
$$=a^2\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos(2\theta)\,d\theta\,\,\,(13)$$
$$=a^2.\,\,\,(14)$$

Por otro lado, la lemniscata es similar al signo también utilizado en matemáticas como el signo de infinito $(\infty)$. Y, de forma aproximada, también está presente en la naturaleza. El analema, que es la curva descrita por la posición del Sol observada todos los días del año a la misma hora y desde la misma posición, se asemeja a una lemniscata:


viernes, 29 de agosto de 2014

Los Cuatro Cuatros

En el capítulo 7 de la magnífica obra de Malba Tahan, El hombre que calculaba, se encuentra una interesante curiosidad aritmética. El calculista Beremiz y su ayudante se encuentran de paseo por las calles de los mercaderes en Bagdad. Mientras escuchan los pregones de los vendedores, al calculista le llama la atención un turbante azul de una de las tiendas pero más aún, el nombre de la misma: Los cuatro cuatros. Beremiz le explica a su compañero que el título recuerda una maravilla del cálculo: que cualquier número se puede escribir con la ayuda cuatro cuatros. Beremiz procede a escribir en la arena los siguientes cálculos:

$$1=\frac{44}{44}$$
$$2=\frac{4}{4}+\frac{4}{4}$$
$$3=\frac{4+4+4}{4}$$
$$4=4+\frac{4-4}{4}$$
$$5=\frac{4\cdot 4+4}{4}$$
$$6=\frac{4+4}{4}+4$$
$$7=\frac{44}{4}-4$$
$$8=4\cdot4-(4+4)$$
$$9=4+4-\frac{4}{4}$$
$$10=\frac{44-4}{4}$$

En ese momento, el sirio dueño de la tienda le escucha interesado, resalta las habilidades matemáticas de Beremiz y le pide resolver un problema que no ha solucionado desde hace tiempo, y que trata de un pago de cincuenta dinares. A cambio el comerciante le obsequiaría el turbante azul...

Lo interesante aquí, es que al principio el calculista le dice a su amigo que prácticamente cualquier número natural puede escribirse con solo cuatro cuatros y las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación, división), así como la potenciación, la radicación, la logaritmación y el factorial, además de los signos de agrupación. También es válida la concatenación, es decir colocar dos cuatros unidos $(44)$, también el decimal finito $,4$ o decimales periódicos $,4...$ (en ambos casos se habría utilizado solo un cuatro).

A continuación, se presentan todos los números naturales del $0$ al $100$ (aparte de los expuestos anteriormente).

$$0 = 4 - 4 + 4 - 4 = 44-44$$
$$11 = \frac{44}{\sqrt{4}\sqrt{4}}$$
$$12 = {\sqrt{4} + \sqrt{4} + \sqrt{4}}\cdot\sqrt{4}$$
$$13 = \frac{44}{4} + \sqrt{4}$$
$$14 = 4\cdot4 - \frac{4}{\sqrt{4}}$$
$$15 = \frac{44}{4} + 4$$
$$16 = \sqrt{4}\cdot\sqrt{4}\cdot\sqrt{4}\cdot\sqrt{4}$$
$$17 = 4^{\sqrt{4}} + \frac44 = 4\cdot4+\frac44$$
$$18 = 4^{\frac{4}{\sqrt{4}}}+\sqrt{4} = \frac{44}{\sqrt{4}-4}$$
$$19 = 4! - 4 - \frac44$$
$$20 = \frac44+4\cdot4$$
$$21 = 4! - \frac44 - \sqrt{4}$$
$$22 = 4\cdot4 + 4 + \sqrt{4}$$
$$23 = 4! - \sqrt{4}\cdot\frac{\sqrt{4}}{4}$$
$$24 = 4! + 4 - \sqrt{4} - \sqrt{4}$$
$$25 = 4! + \sqrt{4}\cdot\frac{\sqrt{4}}{4}$$
$$26 = 4! + \sqrt{4}\cdot\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$$
$$27 = 4! + \frac44 + \sqrt{4}$$
$$28 = 4! + 4\cdot\frac44$$
$$29 = 4! + 4 + \frac44$$
$$30 = \frac{\left(4+\frac44\right)!}{4}$$
$$31 = \frac{4! + 4}{4} + 4!$$
$$32 = 4^{\sqrt{4}}+4^{\sqrt{4}}$$
$$33 = \frac{44}{\sqrt{.4…}\cdot\sqrt{4}}$$
$$34 = 4\cdot4\cdot\sqrt{4} + \sqrt{4}$$
$$35 = 4! + \frac{44}{4}$$
$$36 = \frac{4!\cdot4!}{4\cdot4}$$
$$37 = \frac{4! + \sqrt{4}}{\sqrt{.4…}} - \sqrt{4}$$
$$38 = 44 - (4 + \sqrt{4})$$
$$39 = \frac{4! + 4 - \sqrt{4}}{\sqrt{.4…}}$$
$$40 = 4! + 4! - 4 - 4$$
$$41 = \frac{4! + \sqrt{4}}{\sqrt{,4…}} + \sqrt{4}$$
$$42 = 44 - \frac{4}{\sqrt{4}}$$
$$43 = 44 - \frac44$$
$$44 = 44 + 4 -4$$
$$45 = 44+\frac44=\frac{(4+\sqrt{4})!}{ 4\cdot4}$$
$$46 = (4!\cdot4 - 4)/\sqrt{4}$$
$$47 = (4!\cdot4 -\sqrt{4})/\sqrt{4}$$
$$48 = 4!\cdot\sqrt{4} + 4 - 4$$
$$49 = 4! \cdot \sqrt{4} + \frac44$$
$$50 = 4!\cdot\sqrt{4} + 4 - \sqrt{4}$$
$$51 = \frac{4!}{,4…} -\sqrt{4}{,4...}$$
$$52 = 4!\cdot\sqrt{4} + \sqrt{4} + \sqrt{4}$$
$$53 = \frac{4!}{,4…} - \frac44$$
$$54 = \frac{4!}{,4…} + 4 - 4$$
$$55 = \frac{4!}{,4…} + \frac44$$
$$56 = 4! \cdot \sqrt{4} + 4 + 4$$
$$57 = \frac{4!}{,4…} + \sqrt{4}{,4…}$$
$$58 = \frac{4!}{,4} - \frac{4}{\sqrt{4}}$$
$$59 = \frac{4!}{,4…} + \frac{\sqrt{4}}{,4}$$
$$60 = \frac{4!}{,4…} + \frac{4}{\sqrt{,4…}}$$
$$61 = \frac{4!}{,4} + \frac44$$
$$62 = \frac{4!}{,4…} + 4 + 4$$
$$63 = \frac{4^4-4}{4}$$
$$64 = 4! \cdot \sqrt{4} + 4 \cdot 4$$
$$65 = \frac{4!}{,4} + \frac{\sqrt{4}}{,4}$$
$$66 = \frac{4!}{,4…} + \frac{4!}{\sqrt{4}}$$
$$67 = \frac{4! + 4}{,4…}+ 4$$
$$68 = \frac{4!}{,4} + 4 + 4$$
$$69 = \frac{4!}{,4} + \frac{4}{,4…}$$
$$70 = \frac{4!}{,4…} + 4\cdot4$$
$$71 = \frac{4!+4,4}{,4}$$
$$72 = \frac{4!\cdot4!}{\sqrt{4}\cdot4}$$
$$73 = \frac{4! + 4! + \sqrt{,4…}}{\sqrt{,4…}}$$
$$74 = 4!+4!+4!+\sqrt{4}$$
$$75 = \frac{\frac{4!+4!}{4}}{,4}$$
$$76 = 4!+4!+4!+4$$
$$77 = \left(\frac{4}{,4…}\right)^{\sqrt{4}}-4$$
$$78 = (4!-4)\cdot4-\sqrt{4}$$
$$79 = \left(\frac{4}{,4…}\right)^{\sqrt{4}}-\sqrt{4}$$
$$80 = \frac{4^{\sqrt{4}}}{,4}\cdot\sqrt{4}$$
$$81 = \left(4-\frac44\right)^4$$
$$82 = (4!-4)\cdot4+ \sqrt{4}$$
$$83 = \left(\frac{4}{,4…}\right)^{\sqrt{4}}+\sqrt{4}$$
$$84 = 44\cdot\sqrt{4}-4$$
$$85=\left(\frac{4}{,4…}\right)^{\sqrt{4}}+4$$
$$86 =\frac{44}{,4-4!}$$
$$87 = 4! \cdot 4 - \frac{4}{,4…} = \frac{4! + 4}{,4…} + 4!$$
$$88 = \frac{4^4}{4} + 4!$$
$$89 = \frac{\sqrt{4}+4!}{,4}+4!$$
$$90 = \frac{(4 + \sqrt{4})!}{4\cdot\sqrt{4}}$$
$$91 = 4!\cdot 4 - \frac{\sqrt{4}}{,4}$$
$$92 = 44 + 4! + 4!$$
$$93 = 4! \cdot4-\sqrt{\frac{4}{,4…}}$$
$$94 = 4!\cdot4 - 4 + \sqrt{4}$$
$$95 = 4\cdot4!- \frac44$$
$$96 = 4 \cdot 4! + 4 - 4$$
$$97 = 4 \cdot 4! + \frac44$$
$$98 = 4! \cdot 4 + 4 - \sqrt{4}$$
$$99 = (4! - \sqrt{4}) \cdot \frac{\sqrt{4}}{,4…}$$
$$100 = 4! \cdot 4 + \sqrt{4} \cdot \sqrt{4}$$

Como puede verse, en algunos casos hay más de una manera de obtener un mismo número natural. ¿Podría obtenerse cualquier número natural con ayuda de cuatro cuatros y las operaciones? Pues sí, aquí hay una fórmula descubierta por Blanton Culver en 1954.



Esta fórmula fue modificada pues incluía un $2$. Todo esto lo cuenta el mítico Jaime Poniachik en la sección Trotajuegos de la revista Juegos para la Mente en los años 80 y se puede ver en la siguiente imagen.



Les dejo también esta otra curiosidad: El número de oro expresado con cuatro cuatros.

$$\Phi=\frac{\sqrt4+\sqrt{4!-4}}{4}$$

Para terminar, aquí un reloj de pared solo para geeks:



lunes, 25 de agosto de 2014

Dominio Máximo de una función real

Algunas funciones no son continuas en todo su dominio, donde pueden haber preimágenes para las cuales no existen imágenes con qué asignarlas, ya que se derivan de operaciones "prohibidas" en la matemática. En estas situaciones, nuestra máquina de hacer números se traba, pues no produce números para los que introducimos. En esos casos decimos que la función no está definida para esos valores. Ilustremos esto mediante un ejemplo.

Ejemplo 1. Consideremos la función $f(x)=\frac1x$.

Si quisiéramos calcular algunas imágenes en esta función sin conocer cierta prohibición matemática nos veríamos atrapados en problemas. Por ejemplo, si calculamos para los valores $\{-2,-1,0,1,2\}$ tenemos lo siguiente:

$$f(-2)=\frac{1}{-2}, f(-1)=\frac{1}{-1}=-1,$$
$$f(0)=\frac{1}{0},$$
$$f(1)=\frac{1}{1}=1, f(2)=\frac{1}{2}.$$

Pero ¿dónde está el problema? Observe el cálculo que está resaltado. El problema lo origina la división por cero, la cual no está definida matemáticamente, por lo que no podemos considerar al numeral $0$ dentro del dominio, pues de hacerlo, nuestra relación ya no sería función debido a que habría un elemento en el dominio que no tendría su correspondiente imagen en el ámbito.
Precisamente, encontrar el dominio máximo de una función es hallar todos los valores (preimágenes) que tengan su correspondiente imagen (en esos valores la función está bien definida) es decir, debemos eliminar del conjunto de partida el/los posible(s) valor(es) que originen problemas matemáticos insalvables como lo son

  1. La división por cero y 
  2. números negativos como subradicales de raíces de índice par; 

y admitir solamente los valores permitidos para las operaciones involucradas. Según lo anterior, vamos a considerar los siguientes casos:

Caso I. Funciones Racionales

Funciones del tipo $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},$, donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios y $q(x)\not=0$ polinomio lineal o cuadrático. 

Ejemplo 2. Consideremos la función $f(x)=\frac{2x-1}{7x-21}.$ Debemos excluir el valor de $x$ que al sustituirlo en el criterio convierta el denominador en $0$. Para eso, tomamos la expresión del denominador y realizamos el siguiente procedimiento:

$$7x-21\not=0$$

$$7x\not= 21$$

$$x\not=\frac{21}{7}=3$$

Por lo que $x$ no puede tomar el valor de $3$ en la función y decimos que el dominio máximo de $f$ es $I\!R-\{3\}$ (es decir, todos los números reales con excepción del $3$).

Ejemplo 3. Hallar el dominio máximo de la función $g(x)=\frac{4x}{1-3x}$.

Solución. Tomamos el denominador $1-3x$ y decimos que debe ser diferente de cero, así $1-3x\not=0$. Ahora resolvemos esta ecuación" de primer grado: $$1-3x\not=0\rightarrow -3x\not=-1\rightarrow x\not=\frac{-1}{-3}\rightarrow x\not=\frac13$$ Por lo que el dominio máximo de $g$ será $D_g=I\!R-\{\frac13\}$.

Ejemplo 4. Para la función $f(x)=\frac{5x}{x^2-9}$ ¿cuál es su dominio máximo?

Solución. Debemos considerar en este caso que el denominador es un trinomio cuadrático, por lo que vamos a tener dos valores para los cuales el denominador se hace cero. Entonces tomamos el denominador y resolvemos ahora como una ecuación cuadrática de la siguiente manera:

$$x^2-9\not=0$$
$$x^2\not=9$$
$$x\not=\pm\sqrt9$$
$$x\not=\pm3$$

Entonces $x$ no puede tomar los valores $-3$ o $3$ en el denominador de la expresión. Decimos entonces que el dominio máximo de la función $f$ es $I\!R-\{-3,3\}.$

Notemos que para el caso de funciones racionales o fraccionarias, no tomamos en cuenta nunca la expresión del numerador para determinar su dominio máximo.


Caso II. Funciones Radicales

Son las funciones del tipo $\sqrt[n]{p(x)}$ con $n$ par y $p(x)$ polinomio lineal. Si $n$ es impar, la función tiene dominio $I\!R$.

Ejemplo 5. Hallar el dominio máximo de la función $f(x)=\sqrt{5x+1}$.

Solución. Al analizar esta función notamos que existen infinitos valores que dan como resultado  números negativos en el subradical, y esto no es permitido en $I\!R$, pues se trata de una raíz cuadrada. Entonces tomamos la expresión del subradical y escribimos:

$$5x+1\leq 0$$ (es decir, la expresión no puede tomar valores negativos)
$$5x\leq-1$$
$$x\leq -\frac{1}{5}$$

Lo cual en notación de intervalo se escribe $\left[-\frac{1}{5},+\infty\right[$ y quiere decir que el dominio máximo de $f$ será el conjunto de valores $x$ mayores o iguales que $-\frac{1}{5}$.


Caso III. Combinación de casos I y II

Son funciones como $f(x)=\frac{p(x)}{\sqrt[n]{q(x)}}$ con $n$ par y $q(x)\not=0$ un polinomio lineal.

Ejemplo 6. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por $f(x)=\frac{1-x}{\sqrt{1-2x}}$?.

Solución. Consideramos únicamente el subradical que a su vez está en el denominador. Aquí como dentro de la raíz no puede haber números negativos y el denominador no puede ser cero, entonces escribimos $1-2x\leq 0$ (estrictamente mayor que $0$) y resolvemos la inecuación: $$1-2x\leq 0\rightarrow 1\leq 2x\rightarrow \frac12\leq x\rightarrow x\in\left]-\infty,\frac12\right[.$$

Entonces los únicos valores aceptables son los que pertenecen a ese intervalo, por ende, el dominio máximo de $f$ es $D_f=\left]-\infty,\frac12\right[$.

domingo, 9 de marzo de 2014

Geometrías no euclídeas. Los Modelos del Universo

La Geometría, en su significado primitivo, se dedicaba solo al estudio de la medición de la Tierra como extensión física de la habitación del hombre, de su escala palpable con los sentidos. Más tarde, y gracias al magnífico compendio de la Matemática vigente en la época helénica de Euclides, Elementos, esa definición tuvo que extenderse mas allá de la intuición, para vivir en la abstracción humana.

Luego de la propagación de los escritos griegos en los siglos XVIII y XIX, y principalmente de esta obra de Euclides, muchos matemáticos comenzaron a hacer críticas en las bases mismas de la geometría euclídea, llevando a varios autores a proponer formas alternativas de introducir la geometría. Se centraron en el oscuro V postulado de Euclides o Postulado de las Paralelas, pues para muchos se asemejaba más a un teorema demostrable que a una proposición básica. Esos eminentes geómetras entre muchos otros fueron Gauss, Boylai y Lobachevski (independientemente uno del otro), quienes opinaban que no debía formar parte de la lista de postulados, y comenzaron a probar su demostración. Esa idea se apoyaba en la redacción misma del postulado y en que Euclides no emplea ese postulado hasta la más adentro de su texto. Básicamente, lo que quisieron demostrar era que si el postulado V puede deducirse de los otros, negándolo y manteniendo el resto, debe llegarse a contradicciones.

Ahora se sabe que la demostración del Postulado de las Paralelas no es posible, y no puede ser deducido de los otros cuatro, es decir, el Postulado V es independiente, y aun más, puede prescindirse de el. Entonces trataron de negarlo, para llegar a alguna contradicción. Playfair postuló una proposición equivalente: "Dada una línea recta y un punto fuera de ella, se puede trazar una sola línea recta paralela a la recta dada", que negándola se llega a dos posibilidades: que por ese punto pasan infinitas rectas o no pasa ninguna recta paralela a la original.

Gauss intuyó la posibilidad de negarlo y sugerir lo primero, que por el punto pasaran  infinitas rectas paralelas, sin embargo no fue hasta que Boylai y Lobachevski lo estudiaran a profundidad y sustituyeron esta opción por el quinto postulado conservando los otros para ver si llegaban a una contradicción, no obstante nunca la encontraron, por lo que abrió paso a una nueva posibilidad de geometría no plana, un conjunto de teoremas coherentes y compatibles entre si. Aun más, si se sustituye el postulado V por la tercera posibilidad: "no puede trazarse ninguna recta paralela", puede obtenerse otro conjunto de teoremas perfectamente válidos y distintos de las otras dos, es decir, una nueva geometría, llamada Geometría de Riemann. Las tres geometrías son racionalmente correctas, formalmente verdaderas, pero solo la euclidea corresponde a la realidad del espacio a escala humana.

Así se originaron dos nuevas geometrías completas, totalmente independientes y distintas, una tricotomía de geometrías que se aplican a diferentes campos de estudio, aunque solo la Geometría Euclidea es posible "materializarla" con los sentidos, es intuitiva. Así, un teorema euclideo es un binomio entre lo racional y lo real: es un teorema deducido y racionalmente correcto, pero ademas se refiere a una inmediata propiedad del espacio, es realmente verdadero a los sentidos, a la experiencia sensible.
Curvatura de los planos

Durante el siglo XIX se trató de rigorizar la Matemática y se llegó a axiomatizar la Geometría en sus tres vertientes para definirlas de manera mas formal mediante el concepto de curvatura. Así la Geometría euclidea o plana se considera con "curvatura cero", la Geometría de Boylai y Lobachevski de "curvatura negativa" y la Geometría de Riemann (cuyos postulados fueron utilizados por Einstein para la formulación de la Teoría Relativista como modelo del espacio) se considera de "curvatura positiva". Otra caracterización de estas geometrías es Geometría  Euclidea o plana, Geometría de Boylai-Lobachevski o hiperbólica y Geometría de Riemann o elíptica. Estos formalismos obligaron a una redefinición de toda la Geometría y a desligarla de la intuición para llevarla a la abstracción, hasta llegar a decirse que la geometría hiperbólica es la que modela el microcosmos de las partículas subatómicas, la plana modela el cosmos a escala humana y la elíptica modela el macrocosmos, el universo inconmensurable.